Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
N~P = 2^i \ IWd^ (5.90)
г+
Под полным числом нулей (полюсов) понимается число нулей N (полюсов P) с учетом их кратности:
п р
N=Y>nb P = ZPk- (5.91)
4=1 k=r-l
Доказательство. Для доказательства теоремы заметим, что
Г (г)
интеграл по Г от функции ф(г) = 'у|гу может быть вычислен с помощью основной теоремы теории вычетов, причем так как все особые точки функции ф (z) — это пули и полюсы функции /(z), а вычеты в этих точках определяются формулами (5.87) и (5.89), то
\ Ф (t) dt = 2ni Y Выч Mz), zm] = 2т ) Y я* - .? Pk] = 2ш (N- Р),
что и доказывает теорему.
Отметим простой геометрический смысл доказанной теоремы, для чего преобразуем интеграл, стоящий в правой части (5.90):
1
Ш
г+ г+
= 2И d\n>f(t)\+-^\dvgf(t). (5.92)
г+ г+
\ Ж ^ = Ы \ d ln/© = 2^i\d > ' /(S) I + і arg f(t)} =
Действительная функция 1п|/(?)| является однозначной функцией, поэтому ее вариация (изменение) при обходе точкой I замкнутого контура Г равна нулю. Следовательно, первое слагаемое в правой части (5.92) равно нулю. Второе слагаемое представляет собой полную вариацию аргумента функции f(t) при обходе точкой t замкнутого контура Г, деленную на 2я. Итак,
N- P = -2l~ Var [arg f(z)}r+. (5.93)
146
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. S
Будем изображать значения функции w=f(z) точками на комплексной плоскости w. Так как функция f(z) непрерывна на контуре Г, то при полном обходе точкой z контура- Г на плоскости z соответствующая ей точка на плоскости w описывает некоторый замкнутый контур С. При этом точка w = 0 может оказаться как вне, так и внутри области, ограниченной контуром С. В первом случае вариация аргумента w при полном обходе С, очевидно, равна нулю. Во втором случае вариация аргумента w определяется числом полных обходов вокруг точки w = 0, которые совершает точка w при своем движении по контуру С. При этом точка w может обходить точку W = O как против часовой стрелки (в положительном направлении), так и по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Итак, разность между полным числом пулей и полюсов функции f(z) в области & определяется числом оборотов, которые совершает точка w = f(z) вокруг точки W = O при положительном обходе ТОЧКОЙ Z контура Г. Эти соображения часто оказываются существенными при подсчете полного числа нулей аналитической функции в заданной области. При этом во многих случаях соответствующие вычисления можно значительно облегчить благодаря следующей теореме.
Теорема 5.6 (теорема Руше). Пусть функции f(z) и cp(z)
являются аналитическими в замкнутой области причем на границе Г области 5 имеет место неравенство
|/(z)|r>|<P(*)!r. (5-94)
Тогда полное число нулей в области S функции F (z) = f(z) + cp (z) равно полному числу нулей функции f(z).
Доказательство. Для функций f(z) и F (z) = f(z) + ср (z) выполнены все условия теоремы 5.5. Действительно, функция f(z)
не имеет особых точек на Г (она аналитическая в Щ и не обращается в нуль на Г в силу (5.94). Эти условия также выполнены для функции F(z), так как | F(Z)Ir = \f(z)+ ср(z) | 5г |/(г) [Г - |cp(z)jr>0. Поэтому на основании формулы (5.93) получим
NI/(Z) + 9(Z) I = Var [arg (/+ср)]г и 7V[/(z)] =Var [arg/(z)]r.
Рассмотрим разность
N [f(z) +V(Z)]-N U(Z)] =
= і Var № (/+ Ф) - afg /Ir = h Var H (1 + Т)]г • (arg (/+ ср) - arg/ = arg ?±JP).
Введем функцию w=\+~~. Как легко видеть, при обходе точ-кой z контура Г соответствующая ей точка w опишет замкнутую
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
147
кривую С, которая в силу условия (5.94) будет целиком лежать внутри некоторого круга | w — 1 | ssS р0< 1 (рис. 5.7). Тем самым точка W = O лежит вне кривой С. Следовательно, Var [arg w]r = О, что и доказывает теорему.
Пример. Найти полное число нулей функции F(z) = zs — 5z&— — 2z-\-l внутри единичного круга |г|<1- Представим функцию F (z) в виде F (z) = f (z)-\-q> (z), положив f(z) = — ozb + 1 и Ф (z) = z8 — 2z. Тогда
ІД*) I
|ф(*)|
z| = l ¦
_5^||Z| = i-l=4,
za 11 г і = і + [ 2z j і г j = і = 3,
откуда \f(z) j і г і = і > I ф (z) j і г j = і > 0. Следовательно, полное число нулей в области | z j < 1 функции /''(г) равно полному числу нулей функции f(z), но последняя имеет, очевидно, ровно пять нулей:
(k = 0, 1
1
.2яА
4).
Важным принципиальным следствием теоремы Руше является
Основная теорема высшей алгебры. Полином п-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно п нулей (с учетом их кратности).
Доказательство. Пред- Рис. 5.7.
ставим полином F (г) = a()z" -j-
+ O1Z^1. ..-{-апв видеF(z) =f(z) + ф(г),положив f(z) = aQzn, ф (z) =
aiz" 1 + • • • + ап- Составим отношение
ф(г) /(г)
' а„
1
+ ...+
1
Со
Как легко видеть, при любых заданных значениях коэффициентов а0, аь ..., ап всегда найдется такое значение R0, что для всех значений j z I = R > R0 имеет место неравенство
0<
ф(г) /(г)
IzI = «
<1.
(5.95)
В силу теоремы Руше из (5.95) следует, что полное число нулей функции F (z) в круге j z \ = R равно числу нулей в этом круге функции f(z) = a0zn. Но функция f(z) = a0zn на всей комплексной плоскости имеет единственный я-'кратный нуль — точку z = 0. Отсюда в силу произвольности R^R0 и следует утверждение теоремы.
