Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 60

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 115 >> Следующая

Доказательство. Очевидно, для доказательства теоремы достаточно показать, что функция /(z) устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями S и G, т. е. надо показать, что функция f(z) каждому значению z е_ S ставит в соответствие некоторую точку w е_ G и для каждой точки W1 е_ G найдется, и притом только одна, точка Z1 е_ 'S такая, что /(Z1) = W1. Для этого рассмотрим две произвольные точки W1 е_ G и Z^2 G (рис. 6.4) и построим в области S вспомогательные функции
F1(Z)^f(Z)-W1, Z EES,
F,(Z) =f (z)-w„ z z=V. ( • ;
158
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Подсчитаем число нулей этих функций в области S, для чего воспользуемся формулой (5.93). Так как в силу условий теоремы положительному обходу контура у соответствует положительный обход контура Г, получим
N [F1 (Z)] = ± Var [arg (f- W1)}, = 1 (б. 12)
и
N [F2 (z)] = 4 Var [arg (f-w2)]y = 0. (6.13)
Из (6.13) в силу произвольности выбора точки W2 вне области G следует, что все значения функции f(z) при z е S принадлежат
области G. Из (6.12) следует, что для любой точки %єОв области S найдется одна и только одна точка Z1, для которой /(Z1) = W1, что и доказывает взаимную однозначность данного отображения. Теорема доказана.
Замечание. Если функция f(z) является аналитической в области S, за исключением единственной особой точки Z0, являющейся полюсом первого порядка, и при отображении границы области S, контура у, па контур Г плоскости w направление обхода меняется на противоположное, то функция f(z) осуществляет конформное отображение области S на область G', внешнюю к контуру Г, на плоскости w (при этом точка Z0 соответствует точке W = со).
Данное утверждение доказывается аналогично предыдущей теореме, причем вместо (6.12) и (6.13) получим соотношения
N[F1(Z)]-! =^Var[arg(/-«»1)]Y = -l (6.14)
и
N[F2(Z)]-\ =± VaT[Mg(Z-W2)], = 0, (6.15)
из которых и следует справедливость высказанного утверждения.
Приведем без доказательства утверждение, в известном смысле обратное доказанной теореме.
Теорема 6.5. Если функция f(z) осуществляет конформное отображение области S комплексной плоскости z на ограниченную область G плоскости w, граница которой не содержит точки W = OQ, то функция f(z) непрерывна на границе области S и осуществляет непрерывное и взаимно однозначное соответствие границ у и T областей S и О,
Рис. 6.4.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
159
в) Принцип симметрии. Этот принцип находит многочисленные применения при решении задач конформного отображения областей, границы которых имеют прямолинейные участки. Пусть граница у области S имеет прямолинейный участок у' (рис. 6.5). Область S, полученную путем зеркального отражения области S относительно прямой, на которой лежит отрезок у', будем называть областью, симметричной области S относительно у'. Симметрию точек областей S и S будем обозначать символом z <-» z. Принцип симметрии может быть сформулирован в виде следующей теоремы.
Теорема 6.6. Пусть в замкнутой области S1 граница у которой имеет прямолинейный участок у', задана непрерывная функция f(z), осуществляющая конформное отображение області^ на область G комплексной плоскости w, при котором участок у' границы у переходит также в прямолинейный участок Г" границы Г области О. Тогда в области S, симметричной S относительно отрезка у', можно построить ^---
функцию f(z), являющуюся аналити- Рис. 6.5.
ческим продолжением функции f(z) из
области S & область S, осуществляющую конформное отображение области S на область О комплексной плоскости w, симметричную области G относительно отрезка Г".
Заметим, что полученная таким образом область S = S-\-S может иметь участок S12, принадлежащий одновременно областям SwS. Тогда полная аналитическая функция F (z), полученная аналитическим продолжением функции f(z) в область S, должна рассматриваться на соответствующей римановой поверхности (то же относится и к областям G и G).
Перейдем теперь к доказательству теоремы.
Доказательство. Сопоставим каждой точке z е 5 симметричную ей относительно отрезка у' точку z е S, а точке w є= G — симметричную ей относительно отрезка Г' точку яєо:
Z++Z, W<r+W. (6.16)
Определим в области S функцию / (z), задавая ее значения для каждого z^S по схеме z <-» z; z ->w=f(z); w++w, f(z) = w. Как легко видеть, построенная функция f (z) является аналитической в области S. Действительно, в силу соответствий (6.16) из сущест-
160
конформное отображение
[ГЛ. 6
вования предела разностного отношения '-^ следует существование
предела разностного отношения ЛЛ. Аналитические функции f(z),
Az
ze=S, и /(г), z^-S, совпадают и непрерывны на общем участке у границ областей SnS. Поэтому в силу принципа аналитического продолжения функция f [г) и является аналитическим продолжением функции f(z) из области S в область S. Первая часть утверждения теоремы доказана. В силу (6.16) отображение области S на область G, осуществляемое функцией / (г), является взаимно однозначным. Следовательно, на основании теоремы 6.3 это отображение является конформным. Теорема полностью доказана.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed