Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 50

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 115 >> Следующая

- 1
1
как Z1-Z2=I, то лишь одна из этих точек лежит внутри круга j z j = 1. Как легко видеть, это — точка Z1 = — -j- — 1 . По-
этому в силу теоремы 5.1
I= 4л Выч
аг2 + 2г-\-а
= 4л •
J_
а (г — za)

(5.28)
130
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
2. Интегралы вида ^ f(x)dx. В этом пункте мы рассмотрим
— со
применение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов
OO
первого рода *) вида f(x) dx. Мы будем рассматривать тот слу-
— OO
чай, когда функция f(x) задана на всей действительной оси и может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость так, что
ее продолжение удовлетворяет
У

Zr
Z=O X
Рис. 5.2.
всех точек верхней полуплоскости, \z\^>R0, имеет место оценка
M
некоторым дополнительным условиям. Эти условия будут сформулированы ниже в теореме 5.3.
Для дальнейших рассмотрений нам потребуются некоторые вспомогательные положения.
Лемма 1. Пусть функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости Im z > О всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа R0, M и б, что для удовлетворяющих условию
I/(*)!<-
z\>Ru.
Тогда
Hm ' /(C)^ = O,
(5.29)
(5.30)
где контур интегрирования С'ц представляет собой полуокружность \z\ = R, lmz>0 в верхней полуплоскости z (рис. 5.2). Действительно, в силу (1.41) и условий леммы при R-^-R0
\f(0dt < J|/(0|ds<^ = ^o,
¦к с\ ^03
что и доказывает лемму.
Замечание 1. Если условия леммы выполнены в каком-либо секторе Cp1 < arg z < ср2 плоскости z, то формула (5.30) имеет место при интегрировании по дуге С'р> окружности, лежащей в данном секторе.
Замечание 2. Условия леммы, очевидно, будут выполнены, если функция f(z) является аналитической в окрестности бесконечно
*) Определение несобственных интегралов см. вып. 2, стр. 358.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
131
удаленной точки и точка Z = со представляет собой нуль не ниже второго порядка функции f(z). Действительно, в этом случае разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности z = со имеет вид
причем j ф (z) | < Al, откуда и следует опенка (5,29) при 6=1.
Лемма 1 находит широкое применение при вычислении ряда
OO
несобственных интегралов вида ^ f(x)dx.
— со
Теорема 5.3. Пусть функция f(x), заданная на всей действительной оси —со<;х<со, может бить аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z^s-O, причем ее аналитическое продолжение, функция f(z), удовлетворяет условиям леммы
1 и не имеет особых точек на действительной оси. Тогда несе
собственный интеграл первого рода jj f(x)dx существует и
— OO
равен
со N
$ f(x)dx = 2ni 2 Выч[/(2), zk], (5.31)
— со k~\
где zk — особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости.
Доказательство. По условию теоремы функция f(z) в верхней полуплоскости имеет конечное число особых точек zk, причем все они удовлетворяют условию j zk j < R0- Рассмотрим-замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси — R s= X s= R (R > R0) и полуокружности С'ц, \z\=R, в верхней полуплоскости. В силу основной теоремы теории вычетов
R N
\ f(x)dx+ $ f(z)dz = 2nl 2 Выч[/(г), zk}. (5.32) -« c'R * = i
Так как выполнены условия леммы 1, то предел второго слагаемого в левой части (5.32) при R —>¦ со равен нулю; правая часть (5.32) при R > R0 от R не зависит. Отсюда следует, что предел первого слагаемого существует и его значение определяется формулой (5.31). Теорема доказана.
Пример 2. Вычислить интеграл
OO
/= $ ^rx- (5.33)
— OO
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, функция f(z) = zi !_t, очевидно, удовлетворяет уело-
132
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(ГЛ. 5
виям теоремы 5.3. Ее особыми точками в верхней полуплоскости
л + 2лк
являются точки Z01 = є 4 (к = 0, 1), причем обе эти точки — полюсы первого порядка. Поэтому
[J .л-
1
•я1 " 1 <3я1
е'4 -f- Выч 1 е 4~
1
4z3
. зя
я 1^2
(5.34)
Замечание 1. Если функция f(x) является четной функцией и удовлетворяет условиям теоремы 5.3, то
со Д/
\ f{x) O1X = Ul^ Выч [f(z), гк]. (5.35)
о k=\
Действительно, если f (х) — четная функция, то
^ f(x)dx= У jj f(x)dx,
откуда и следует формула (5.35).
Замечание 2. Очевидно, имеет место аналогичная теорема и в том случае, когда аналитическое продолжение функции f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям леммы, аналогичной лемме 1.
со
3. Интегралы вида ^ eiaxf(x)dx. Лемма Жордана. Вычисле-
— со
ние следующего важного класса несобственных интегралов с помощью теории вычетов основано на применении так называемой леммы Жордана, к доказательству которой мы сейчас перейдем.
Лемма 2 (лемма Жордана). Пусть функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно относительно arg z (0 arg г^л) стремится к нулю при \ z | -> со. Тогда при а > О
Hm \ e^f (QdI = O, (5.36)
CR
где С'ц — дуга полуокружности \z\ = R в верхней полуплоскости z.
Доказательство. Условие равномерного стремления f(z) к нулю означает, что при \z\=R имеет место оценка
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
https://remochka.ru конфорка занусси: варочные панели zanussi на 4 конфорки. Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed