Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
|/(г):<ця, \z\=R, (5.37)
где fiR^-0 при R-уоз. С помощью соотношения (5.37) оцепим исследуемый интеграл. Сделаем замену переменной, положив t = Rei4>,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
133
и воспользуемся очевидным соотношением
БШф^^-ф при О^фї^у.
(5.38)
Тогда получим
n/2
о о
(5.39)
что и доказывает лемму. Замечание 1. Если
а < 0, а функция /(г) удовлетворяет
условиям леммы Жордана в нижней полуплоскости Im z мула (5.36) имеет место при интегрировании по дуге пости C'f> в нижней полуплоскости z. Аналогичные утверждения имеют место и при a = ± ia (а > O) при интегрировании соответственно в правой (Re z^O, рис. 5.3) или левой (Re z O) полуплоскости г. Доказательства этих утверждений проводятся совершенно аналогично предыдущему, и мы предоставляем их читателю. Выпишем только важную для дальнейших приложений форму леммы Жордана, относящуюся к интегрированию в правой полуплоскости:
\ е'аЧQdI = Q, 'Cr
с 0, то фор-полуокруж-
Hm
R-
а > 0, (5.40)
Рис. 5.3.
где С'р> — дуга полуокружности \z\=R в правой полуплоскости Re^S=O. Формула
(5.40) и ряд последующих, в частности, будут широко использованы в гл. 8 при вычислении различных интегралов, играющих важную роль в операционном исчислении.
Замечание 2. Лемма Жордана остается справедливой и в том случае, когда функция f(z) удовлетворяет сформулированным выше условиям в полуплоскости Im z ^syn (_у0 — фиксированное число, которое может быть как положительным, так и отрицательным), а интегрирование производится по дуге полуокружности I г — (у(||=/?в полуплоскости . Im z У-~:-уп. Доказательство проводится аналогично предыдущему, причем при оценке интеграла следует сделать замену переменной интегрирования 'С, = Re!(p -f- lyu.
134
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Замечание 3. Лемма Жордана остается справедливой и при ослабленных условиях на функцию f(z). Пусть функция f(z) в верхней полуплоскости Imz~>у0 при \z\~>R0 равномерно относительно аргумента z — Iy1 стремится к нулю при j z j -> со в секторах — ф0 е=с arg (z — Iy1) sC фъ л — ф2 S=S arg (z — Iy1) s=c л + ф0 и равномерно ограничена в секторе фх s=c arg (z — Iyx) ==с л — ф2, где ф0, фі и ф2 —
Jt
заданные положительные числа 0 s=c ф0, фъ фгїїС-^- и ух ~>у0. Тогда
интеграл [ e'a?/(Dп0 Дуге CR окружности Iz-Iy1I=R, Im z^y0 CR
стремится к нулю при а>0 и R->со.
Для доказательства разобьем этот интеграл на сумму Z=/i+ Z2 + + /3+/4 + 4 интегралов по дугам Q1 (_ух > Im z >_у0, arg (z — Iy1) < < 0), Ci' (0 < arg О - Zy1) < ф1), Q (ф! < arg (z - Iy1) < л - ф2), С'$ (л — ф2 < arg (z — Iy1) < л) и Q' (J1 > Im z >_у0, arg (z — Zy1) > л) и докажем сходимость к нулю каждого интеграла в отдельности. Для интеграла Z1 получим 111| ==с \iRe-a-v«LR, где L'R — длина кривой CiJ'. При R—t-co величина /_$' остается ограниченной и стремится к значению у1 —у0. Поэтому IZ1I-^O при R-у со. Аналогично Z5 ->0. Сходимость к нулю интегралов Z2 и Z4 устанавливается приемом, использованным в доказательстве леммы Жордана. Для интеграла Z3 легко получить оценку Z3 j < Ce~aIisin<p*R (л — фх — ф2), где |/(0|<С и ф* = тіп{ф1, ф2}, из которой следует, что Z3-v0 при R-+со.
Итак, лемма Жордана имеет место при значительно более слабых ограничениях на функцию f(z), чем в случае леммы 1. Это связано с наличием в подынтегральной функции дополнительного множителя который при а>0 обеспечивает достаточно быстрое убывание подынтегральной функции в секторе 0 < ф! S^ arg (z — Iy1) s?c л — ф2 при I z I -> со.
Лемма Жордана находит многочисленные применения при вычислении широкого класса несобственных интегралов.
Теорема 5.4. Пусть функция f(x), заданная на всей действительной оси — со << X < оо, может бить аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z ^ 0, а ее аналитическое продолжение f(z) в верхней полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действитель-
OO
ной оси. Тогда интеграл [ eiaxf(x) dx, а > 0, существует и равен
— OO
со п
5 еіах/(х)ах = 2лі Bu4[eiazf(z), zk], (5.41)
— 00 ^=1
где zk — особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости z.
Доказательство. По условию теоремы особые точки zk функции f(z) в верхней полуплоскости удовлетворяют условию
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135
Z1 = 2л/ Выч
Отсюда
.іаг
іа
г2 + а>
р-аа п
= 2ni~ = -e~aa. 2ш а
Z=ReZ1 = ^e-"«. (5.45)
Замечание 1. Если f(x) является четной функцией, удовлетворяющей условиям теоремы 5.4, то при а>0
OO п
f(x) cos ах dx = nRe/ ^ Выч [eiazf(z),zk\ = о &=i
п
= - літ Z Выч \eiazf(z), zk]. (5.46)
/г=1
Замечание 2. Если f(x) является нечетной функцией, удовлетворяющей условиям теоремы 5.4, то при а > О
OO п
\ f(x) sin ах dx = nRe Выч [e'a7V), (5.47)
о &=1
\zk і < ^O- Рассмотрим в верхней полуплоскости г замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси —R^x ^,R, R^>R0 и дуги С'ц полуокружности \z\=R в верхней полуплоскости z. По основной теореме теории вычетов
R п
\ eia*f(x)dx + \ e'^fQ dl = 2л/ 2 Ъыч[е""/(2), zk}. (5.42) -« C'R k=\
