Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
замечанию) t=-- и ?=~. Функция w = az-\-b перейдет в функцию
Z = а_|^ , которая осуществляет конформное отображение окрестности точки t = 0 на окрестность точки ? = 0 (точка t = 0 является правильной точкой этой функции, и Z1' (t) \t_0 = 1Ф 0 ).
Выше мы видели, что геометрический смысл отображения, осуществляемого линейной функцией, заключается в подобном растяжении и сдвиге плоскости z. Поэтому данная функция может быть применена для построения конформных отображений подобных фигур.
Пример 1. Построить функцию, осуществляющую конформное отображение круга | z —¦ 1 — і \ ==~с 2 на единичный круг | w \ ==с 1.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
153
Так как области ZwG представляют собой подобные фигуры, то задача может быть решена при помощи линейной функции, которая осуществляет подобное растяжение плоскости z и сдвиг начала координат. Как легко видеть, искомая функция имеет вид
w = a (z — 1 — /),
где
1
a\ = ~t а аргумент комплексного числа а может иметь любое
значение, определяя поворот плоскости w вокруг точки W = O.
Рассмотрим степенную функцию w=f(z) = zn, где п >1— целое число. Как следует из рассмотрений, проведенных в гл. 1 и 3, эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение области
Z=O
U
\ г
І' \
V
х IU-O
Рис. 6.2.
-к
I
I
своей однолистности — сектора rj)0 < arg.z < "фп-]---—на полную плоскость w, разрезанную по лучу arg w = nty0. Ее производная f'(z) = = nz"'1 отлична от пуля и ограничена всюду внутри данного сектора и в точках его границы, за исключением точек Z = O и Z = со. Поэтому данная функция осуществляет конформное отображение области внутри указанного сектора на разрезанную плоскость w. Любая бесконечно малая плоская фигура, лежащая внутри данного сектора, переходит в подобную ей бесконечно малую фигуру на плоскости w, например параллелограмм ABCD, сторонами которого являются координатные линии полярной системы координат (рис. 6.2), перейдет в подобный ему бесконечно малый параллелограмм А'В'СD', сторонами которого также являются координатные линии полярной системы координат на плоскости w. Однако в граничной точке z= О конформность отображения нарушается. Действительно, рассмотрим кривые Y1 и Y2. лежащие внутри данного сектора и пересекающиеся в точке Z = O под углом ф0 (рис. 6.3). Как легко видеть, функцией w = zn эти кривые переводятся в кривые T1 и Г2, пересекающиеся в точке W = O под углом Ф0 = лф0=^ф0. Тем самым бесконечно
154
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
малый треугольник с вершиной в точке z = 0 данной функцией отображается на треугольник, который уже не является подобным исходному. Отметим, что в точке z = 0, где нарушается конформность отображения, производная функции f(z) = zn равна нулю. Продолжая наши рассмотрения, легко установить, что функция w = zn осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z, представляющей собой полную плоскость z, кроме точек Z = O и Z = CO, на л-листную риманову поверхность обратной функции Z = п /—
= у w. Причем точкам Z = O и Z = со, в которых нарушается конформность отображения, соответствуют точки w = 0 и. w = сю, являющиеся точками разветвления обратной функции.
Рис. 6.3.
В общем случае степенная функция w=f(z) = za, где а>0— заданное действительное число, осуществляет отображение сектора 2п 2к
— k < arg z < —- (k -Р-1) (k = 0, ±1, ...) своей римановой поверхности (бесконечнолистной для иррационального а, конечнолистной для рационального дробного а и обычной плоскости z для целого а)
на полную плоскость w ^ луч arg z = —- k отображается на положительную часть действительной оси^. Ее производная f'(z) = aza~1
существует и отлична от нуля всюду внутри данного сектора, кроме точек 2 = 0 и 2 = со. Тем самым и эта функция осуществляет конформное отображение данного сектора на разрезанную плоскость w.
В точках 2 = 0 и 2 = со, так же как и для функции w = zn, конформность отображения нарушается.
Пример. 2. Построить функцию, конформно отображающую первый квадрант плоскости z (Re z > 0, Im z > 0) на верхнюю полуплоскость w (Im w > 0).
Легко видеть, что функция
w = az2 4- b,
общие свойства
155
где а>0 и Ъ — произвольные действительные постоянные, дает решение этой задачи. В точках z = 0 и z = со конформность отображения нарушается.
В гл. 3 мы рассмотрели отображение, осуществляемое показательной функцией w=f(z) = ez. Было показано, что эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение любой своей области однолистности — полосы j/0< !m 2 < j/0-f-2я плоскости z — на полную плоскость w, разрезанную по лучу arg w =у0. Так как производная рассматриваемой функции /' (z) = ez отлична от нуля всюду внутри данной полосы, то это отображение является конформным. Как легко видеть, при данном отображении ортогональная сетка декартовых координат х = СЪ у = С2 внутри рассматриваемой полосы переходит в ортогональную сетку полярных координат |w \ = ес\ ?rg W = C2 на плоскости w. Полная аналитическая функция F(z) = ez, являющаяся целой функцией на плоскости z, осуществляет конформное отображение полной плоскости z на бесконечнолистыую рима-пову поверхность обратной функции*) z = Lnw. Заметим, что конформность отображения нарушается в окрестности точек f = 0 в W = оо плоскости W-, являющихся точками разветвления функции \.\\w, где отображение не является взаимно однозначным.
