Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
По лемме Жордана предел второго слагаемого в левой части (5.42) при R-^-OO равен нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы. Пример 3. Вычислить интеграл
OO
/== \ W+^dx' «>°. «>°- (5.43)
— OO
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера
OO
С piax
Z=ReZ1 = Re -~фах. (5.44)
— OO
Аналитическое продолжение подынтеграральной функции интеграла
Z1 — функция е'агг2_|_а2 — удовлетворяет условиям теоремы 5.4 и имеет
в верхней полуплоскости единственную особую точку Z1 =Ia являющуюся полюсом первого порядка. Поэтому
136
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ II ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Мы доказали леммы 1 и 2, предполагая, что функция f(x) имеет лишь конечное число особых точек в верхней плоскости. Однако, как легко видеть, при незначительном изменении формулировок этих лемм они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек функции f(z). Потребуем, чтобы существовала такая неограниченно возрастающая при п—>со последовательность чисел Rn, что на дугах полуокружностей С'р> в верхней полуплоскости выполнялись бы условия (5.29) или (5.37) соответственно. Тогда утверждения (5.30) или соответственно (5.36) лемм 1 и 2 будут иметь место при условии, что предельный переход в рассматриваемых интегралах совершается по последовательности дуг Cr ПрИ л_>00-Очевидпо также, что в случае существования соответствующих интегралов мы можем распространить рассматриваемые методы интегрирования и на случай функций с бесконечным числом изолированных особых точек. Важным классом таких функций являются так называемые мероморфные функции.
Функция комплексной переменной f(x) называется лсероморф-ной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов. Как легко видеть, в любой ограниченной области комплексной плоскости мероморфная функция имеет конечное число особых точек. Действительно, если бы число особых точек в ограниченной области было бесконечным, то согласно теореме 1.2 в этой области существовала бы предельная точка данного множества, которая тем
самым не была бы уже изолированной особой точкой, что противоречит условию. Примерами мероморфных функций являются дробно-рациональные функции, тригонометрические функции tg z, sec Z.
При доказательстве теорем
_^ 5.3 и 5.4 мы предполагали, что
х функция f(x) не имеет особых точек на действительной оси. Однако незначительные дополнительные рассмотрения позволяют применять доказанные выше теоремы к вычислению несобственных интегралов и в том случае, когда функция f(x) имеет несколько особых точек на действительной оси.
Проиллюстрируем высказанное утверждение на простом примере. Пример 4. Вычислить интеграл
У
R /
-я -р I P R
Рис. 5.4.
r С sin ах , ^ „
J = \ —-— ах, а > 0.
(5.48)
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137
Im z > О функции —— : заданной на положительной части действительной оси О < х < со, в области, ограниченной контуром Г, особых точек не имеет. Поэтому на основании теоремы Коши
г» рР ріах ? р'ах С piaZ f piaX,
]/(QdL= ^ —dx+^—dx + ) ^dL+] —dt = 0.
Г -R p c'p c«
(5.51)
Последнее слагаемое левой части (5.51) стремится к нулю при R—> со в силу леммы Жордана. Рассмотрим третье слагаемое. Заметив, что в этом интеграле полуокружность C9 проходится в отрицательном направлении (по часовой стрелке), и сделав замену переменной интегрирования ? = ре'ф, получим
о
Z3= jj dt = і ^ е'-ар(созч) +с sin ер) (5,52)
tax
Подынтегральная функция в (5.52) является непрерывной функцией параметра р, и при р—*0 ее предел равен 1. Поэтому
HmZ3= — in. (5.53)
Р-.0
Перейдя в (5.51) к пределу при р —О и R—>со, согласно (5.50) и (5.53) получим
X = V-P. ¦^-dx = In, а>0, (5.54)
*) См. вып. 2, стр. 383.
Воспользовавшись формулой Эйлера и свойством четности подынтегральной функции, осуществим формальное преобразование
со
1 (* ріах і
/ = у Im \ ^j-dx =-Am I1. (5.49)
—со
Заметим, что интеграл I1 имеет смысл лишь как главное значение несобственного интеграла второго рода *):
о° (— P R 1
(• ріах с „tax С ріах
A = V. p. HmH 1— dx + $ ^7- dx 1(5.50)
-га к~?оо [-R P I
Рассмотрим в верхней полуплоскости Im z^s= 0 замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [—R,— р], [р, R] и дуг
е'аг
полуокружностей Cp, JzI=P, и Сц, \z\=R (рис. 5.4). Функция——, являющаяся аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость
138
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
откуда
OO
С sin ах , я /- - с\
\ —— dx = -2-, а > 0. (о.о5)
о
При а < О имеет место формула
OO
^Sin^?rfx=_|^ а<0( (5 56)
О
в чем легко убедиться при помощи изменения знака у а в формуле (5.55).
4. Случай многозначных функций. Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f(z) функции f(x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегриро-R вания, является однозначной апали-х тической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F (г) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости г, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F (z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f(z) полной аналитической функции F (z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f(x) в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев.
