Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г р С"~
P
142
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. 5
Так как при обходе точки г = 1 по часовой стрелке аргумент выражения (1 — г) меняется на — 2л, то аргумент функции Ф(г) на нижнем берегу разреза больше аргумента на верхнем берегу разреза на 2ла. Поэтому
р і—р
\ Ф (Q dt= -е'2я« ^ ф(х)ах. (5.74)
і -р р
Как легко показать с помощью опенок, аналогичных (5.62), при 0< <а< 1 интегралы по малым окружностям С'р и Cp стремятся к нулю при р — 0. Тогда, переходя в (5.67) к пределу при р—>0, получаем
N
(1 _е(2л«)/4-2ше''яаа0 = 2я/2Быч[2•"-1O -z)~af(z), zk],
откуда
fc=l
N
где а0 = lim f(z).
= _™о_ _|_ 2т у _ zyaf,z) z і (5J5)
sinn« і __еі2Л<х ^ 1 v / J \ /> т> ч ) ft= I
2->CO
Пример 6. Вычислить интеграл *)
і
/ = \ Xа-1 (1 - x)-a dx, 0 < a < 1. (5.7,6)
о
Так как выполнены все сформулированные выше условия и а0=1, то,
I=-А—. (5.77)
sin па
3° Интегралы вида
I = \f(x)\x\xdx. (5.78)
Пусть функция /(лг) является четной функцией и может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0, причем ее аналитическое продолжение удовлетворяет условиям леммы 1. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [— R, — р], [р, R\ и соединяющих их полуокружностей Cp, IzI = P, и Cr, \z\=R. Функция Ф(г), являющаяся ветвью полной аналитической функции и совпадающая с f(x) In х на положительной части действительной оси (лг>0), на отрииатель-
*) Заметим, что рассматриваемый интеграл является частным случаем B-функции (см. вып. 2, стр 434):
і
B(P, Q) = [XP-^(I-X)I-IdX.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
143
ной части действительной оси при г = ( z \ е'я = хєіл = — х (х > 0) принимает значение
Ф(z) \г=хеш=/(х) In (хеія) = f{x)[InX+ /л].
Поэтому
$ Ф(?)<*? = $/(*) In Jf 5 Ф (D ^ ++^](Ir +
р
+ S Ф (?) rf? = 2ш 2 Выч [/(г) In г, гА]. (5.79)
с-р
4=1
Рассмотрим второе слагаемое в левой части (5.79)
Jt л
. M
А-І-г--
^^Kln^ + JifeO. (5.80)
Проведя аналогичные оценки, легко показать, что и последнее слагаемое в левой части (5.79) стремится к нулю при р—• 0. Наконец,
со
несобственный интеграл ^f(x)dx существует и в силу (5.35) равен
о
со N
f (х) dx = пі ^Ъыч [/(*), zk]. (5.81)
0 4=1
Поэтому, перейдя в (5.79) к пределу при р^О и R — со, получим
оо N
(5.82)
/ = ^ f(x) In Xdx = пі 2 Выч f(z)(^\n z — , z
і JC (ІЛГ = л/ ^ Выч
o A=I
Пример 7. Вычислить интеграл
,1' In я ,
-х2)2
Согласно проведенным выше рассуждениям I = пі Выч
1 Л ш ,
л
(5.83)
(5.84)
§ 3. Логарифмический вычет
1. Понятие логарифмического вычета. Пусть в области S задана однозначная функция /(г), аналитическая всюду в S, за исключением конечного числа изолированных особых точек zk(k=\, р), причем все zk являются полюсами. Предположим, что на границе Г
144
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
области S нет ни нулей, ни особых точек функции /(z), и рассмотрим вспомогательную функцию
Функцию ф (г) часто называют логарифмической производной функции/(г), а вычеты функциии ф(г) в ее особых точках zm(m=\,..., M) —логарифмическими вычетами функции /(z). Определим особые точки функции ф (z) в области S. В силу общих свойств аналитических функций ясно, что особыми точками функции ф (z) будут нули zk(k=\, п) и полюсы zk(k=\, р) функции f(z). Найдем
значение вычета функции ф'(г) в каждой из ее особых точек. Пусть точка Z = zk является нулем порядка nk функции f(z). Тогда в окрестности этой точки функция /(z) имеет вид
f(z) ={z- zft)Vi (z), A (zk) фО, (5.86)
причем точка zk является правильной точкой функции Zi (z). Вычисляя функцию ф (г) в окрестности точки z = zk по формуле (5.85), получаем
ф (Z) = (\nf(z)Y = nk (In (z - zk)j + (In Zi)' = -^- + f^4.
Z-Zk h(z)
Отсюда следует, что точка zk является полюсом первого порядка функции ф (z), причем вычет функции ф (z) в этой точке равен nk. Итак, в нуле порядка яА функции /(z) ее логарифмический вычет равен пк, т. е. порядку нуля:
7'(Z) ,
Выч
= «ъ (5.87)
Пусть точка zk является полюсом порядка рк функции f(z). Тогда в окрестности этой точки функция Z(z) имеет вид
f(z)={z!li%,k,A(zk)?=0, (5.88)
причем точка zk является правильной точкой функции Zi (z)- Поэтому для логарифмической производной функции /(z) в окрестности точки z = zk получим выражение
Ф(^)=-т^г-+Мг)
Z- zk J1 (г) ¦
Отсюда следует, что точка zk также является полюсом первого порядка функции q>(z), причем вычет в этой точке равен —pk- Итак, в полюсе порядка рЙ функции /(z) ее логарифмический вычет равен порядку полюса, взятому со знаком минус:
Выч[ш"' z"}= ~Рк' (5'89:)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
145
2. Подсчет числа нулей аналитической функции. Полученные результаты позволяют доказать следующую важную теорему.
Теорема 5.5. Пусть функция f(z) является аналитической всюду в замкнутой области S, за исключением конеч ого числа лежащих внутри S изолированных особых точек zk, которые все являются полюсами, и пусть f(z) не обращается в нуль ни в одной точке границы Г области S. Тогда разность между полным числом нулей и полным числом полюсов функции f(z) в области S определяется выражением
