Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 6.6. Структурная схема численного интегрирования кусочно-линейного дифференциального уравнения (6.6)
174
которое не гарантирует, что f(X, ^)=0. И на самом деле это очевидно из рис. 6.5. Если числовая ошибка будет входить в последний интеграл, то она никогда не будет сведена на нет процессом в замкнутом контуре вокруг X. Короче говоря, последнее интегрирование — это интегрирование открытого контура, которое будет отклоняться от любого конечного значения в зависимости от суммы числовой ошибки, полученной последним интегрированием. Это не тот процесс, который показан на рис. 6.6.
Математический ход решения дифференциального уравнения представлен на рис. 6.7.
Теперь нам нужно было бы поинтересоваться, почему (6.2), '6.3) и математическая схема решения (6.7) указывают на явное вычисление J? Почему применяется дифференциальное уравнение
i = J(*^ + /(0) + /(0 (6.7)
вместо упрощенного алгебраического вида (6.5)? В этом случае алгебраическое упрощенное уравнение должно иметь вид
x = 2?2х3 + 2kxf (*) + /(/). (6.8)
Ответ содержится в данной главе и подчеркивает, что данным методом управляют два различных эффекта:
1. Получение и применение якобиана.
2. Применение и получение конечного значения.
При изучении рис. 6.7 мы видим, что якобиан известен в уравнении. Так как равновесие доказано (/ = 0 и ? = 0), ясно, что
X= ~~ ^ ^ при / = constant, &<0,
как и должно быть.
Существует другая причина для написания этого уравнения в виде (6.3). Для многих задач это — форма скоростной численной оценки уравнения. Дифференциальным уравнениям, переписанным в форме (6.3), необходимо наименьшее количество арифметических операций и объем памяти для оценки производной.
Например, если мы выполняем (6.8) на миникомпьютере или настольном микрокалькуляторе с ограниченной памятью, нам нужна (в худшем случае) следующая программа вычисления:
X = 2x?x?XxXxxxSTOCLR2xxx/x?-f /RCL + *,
8 умножений, 2 сложения, 2 памяти= 12 арифметическим операциям, в то время как (6.2) может программироваться (в худшем случае) как
x = ?xxSTOxx-f- / RCL X 2 X/+,
4 умножения, 2 сложения, 3 памяти = 8 арифметическим операциям.
Несмотря на то, что разница между 12 и 8 операциями может показаться не такой большой для данного примера, она дает
* Предполагается машинный язык.
175
Вычисление
параметров
задачи
Вычисление^ приращений
Двойное интегрирование X по х, (например, интегрирование только по Эйперу)
Оператор печати
п = 0
/С= XX •XX
T=XX •XX
х=/сх2 + HnJ)
J = ZkX
X=JX-f
е = х + Tx X = X Те X =/cx2+f(t)
пТ
л =
Корректировка времени
аппроксимации
Счетчик циклов
Рис. 6.7. Иллюстрация математической последовательности численного интегрирования уравнения (6.5). Следует обратить внимание, что X1 обеспечиваемое при первом цикле численного интегрирования (е), позволяет осуществлять вывод на печать и закрыть обратный цикл, вычисляя х с помощью х и t
в сумме на 50% больше операций, чем это необходимо. На самом деле, если принимать во внимание, что примерно 5 мкс необходимо для выполнения операции сложения и 9 мкс для операции умножения на типовой BM CDC типа 6400, то разница времени вычисления арифметической операции может составить до 78% лишнего времени.
Если эффективность не выше номинальной, то (6.8), безусловно, также удовлетворительно, как и (6.2).
176
Сделаем замечание несмотря на то, что метод был вполне разработан для моделирования сложного вращательного движения нелинейных фильтров, нелинейных систем экономики и динамических процессов в инерциальных системах универсального подвеса, он совершенно не оценен с точки зрения ограничений численного метода, и не был применен ни с одним численным интегралом, кроме Т-интегратора *.
Все это изложено здесь, чтобы облегчить понимание, которое может быть полезно читателям, внимательно следящим за особенностями применения нелинейного моделирования.
В данной книге изложено состояние дела на время публикации.
S.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ X = Jf+df/dt В ЗАМКНУТОМ ЦИКЛЕ
Чтобы получить кусочно-линейное уравнение для моделирования полностью нелинейного процесса, описываемого
x=f(X, о,
необходимо решить кусочно-линейное дифференциальное уравнение
X = JX + —
1 dt
в замкнутом цикле. Решая это уравнение, можно предположить, что f известно. В этом случае можно предположить, что преобразователь перестраивает f в последовательность ступенчатых значений, и будем искать ответ системы на ступенчатую функцию возмущающего воздействия.
X = JX при J=constant.
Метод, который мы использовали для аналитического вывода разностного уравнения системы, представлен на рис. 6.8. Сначала мы найдем однородное уравнение
X-JX = O
для получения матрицы переходного состояния ф. Предположим, что его решением будет
Х = еА'. При подстановке мы найдем
(A-J) = 0,.:A=J. Решением однородного уравнения становится
X = eJ'C.
* См. гл. 7.
177
if
(+)
S
=F0
J_
S
3%=
T
Рис. 6.8. Структурная схема цифрового моделирования при х — f(x, t) При t=0
Таким образом,
X-Xn = C и J = J0.
X=eJo'X0;
