Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
X(S)
X(Z) 1-е8Т ~X(S) 1 ~X(S)*
S S
c=>X=i ~ X(X)U X XW)=O
Рис. 7.2. Преобразование нулевого порядка при интегрировании
* Численное интегрирование позволяет вычислять лишь приближенное значение интеграла, что подчеркивается знаком «приблизительное равенство».
1s3
'рдсдразиданис пгрозго порядка -X(S)
mm
1 s
Рис. лЗ. Преобразование первого порядка при интегрировании
Разностным уравнением, которое описывает эту дискретную аппроксимацию непрерывного интегрирования, является
Хп=Хп_г + ТХп_,. (7.2)
Это формула Эйлера, которая описывает процесс выборки данных при непрерывном интегрировании интегрируемой функцией, перестроенной с помощью преобразователя нулевого порядка.
На рис. 7.3 показан дискретный эквивалент непрерывного интегрирования при преобразовании процесса перестройки первого порядка (аппроксимация полиномом первого порядка Ньютона— Грегори), применяемый для перестройки интегрируемой функции.
Разностное уравнение, описывающее этот процесс, может быть получено следующим образом:
X
X
Z- 1 \2
1 + Ts Ts*
Z- 1 \2
X _ (z— 1 X \ z
2Т ~
z
1 \з
1
1
Ts* ( Tz(z+1)
+ •
S2
Tz
\2(z— 1)3 (Z- 1)2
X ^ T { 3z— 1 ) X = 2 \z(z— 1) ) '
(7. 3)
Произведя обратное преобразование, найдем разностное уравнение
¦ Хп_х + (Г/2) (3AV-! - Х«-*\ (7. 4)
Здесь мы найдем, что процесс перестройки через преобразование первого порядка приводит к формуле интегрирования Адамса второго порядка и снова к хорошо известному результату.
И наконец, численное интегрирование, основанное на перестройке с преобразованием второго порядка, которые видно на рис. 7.4, приводит к явному интегратору Адамса—Бэшфорта
Xn s Хп_х + Т/ 12 (23Jr^1 - 16Хп_2 + 5^л_3). (7. 5)
Так как процессы перестройки более высоких порядков относятся к аппроксимирующим, но различающимся полиномам Ньютона—Грегори более высокого порядка, следует ожидать, что будут найдены иные классические интеграторы, соответствующие процессу перестройки такого рода.
С точки зрения системы, осуществляющей выборку данных, эти интеграторы различаются характером процесса перестройки интегрируемой функции. Точность перестройки интегрируемой функции связана с точностью и устойчивостью интегратора. Это снова
184
Преобразование Второго /7ир###?В
X(S) \X(Z) /2+3Ts+2T2s2\{1-ersTyf 1
T v zr2 Л s } S T '
Рис. 7.4. Интегрирование с преобразованием второго порядка
заостряет наше внимание на процессе перестройки интегрируемой функции, характеристики и свойства которой — предмет особых исследований в области управления выборкой данных и систем информации. В этом плане интересны методы управления устойчивостью системы управления выборкой данных. Они будут применяться здесь для преодоления цифровой неустойчивости. Кроме того, несомненно, эти методы выборки данных будут применены в управлении искажением сигнала перестройки — главным источником цифровой ошибки и неустойчивости численного интегрирования.
7.3. НАСТРОЙКА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Источники ошибки в численном интегрировании многочисленны. Вместо выявления компенсации для каждого источника ошибки при составлении разностных уравнений, используемых при численном интегрировании, включают переменную компенсирующую фильтрацию по фазе — амплитуде, которая может быть определена аналитически в соответствии с критерием системы или эмпирически методом проб и ошибок.
Оба метода будут обсуждаться.
Три непрерывных фильтра со смещением по фазе применяются при поиске интеграторов настроечного типа (Г-интеграторы) (см. табл. 7.1). Эти фильтры «опережения» ограничивают разложение в ряд оператора e+sT.
Интегратор преобразования нулевого порядка с непрерывной компенсацией коэффициента усиления по фазе и единичным нулем виден на рис. 7.5. Передаточной функцией отношения X и X является
Ae^ 1
S S
Шантобание Перестройна Компенсация Интегрирование Квантование
Рис. 7.5. Структура интегратора нулевого порядка: T — период интегрирования; А параметр компенсации коэффициента усиления; у — параметр компенсации
по фазе
185
Непрерывная компенсация
Таблица 7.1
Тип ко дпенсащш
Нуль первого /порядка
Полюс первого порядка
Полюс/нуль первого пор/.дка
Передаточная функция
1 +V^S 1
1 —yTs
2 + yTs 2—yTs
Получение
+ 1Ts , V2T2s2
«1 + Y^
е+т7*=-
-1Ts
І-yTs + -ч^—".
е-77'5/2
Y^s Y2^2
8
yTs y2T2s2
yTs
2+ yTs 2—yTs
X
х_
X
Tz
yTz
TX
I (г-1)2 z-\
у* + (1 —у)| г- 1 j
Отсюда находим формулу численного интегрирования Xn ^ AVi + ХГ {уХп + (1 - у) *„_, }•
(7.7) (7.8) (7.9)
(7. 10)
При помощи непрерывной компенсации с фильтром «опережение — запаздывание» с единичным полюсом и единичным полюсом—нулем мы найдем следующие формулы численного интегрирования соответственно:
Xn^(I- eVT) Xn^1 - ^Х„_2 + XT' [{1 + Y (1 - є-'")} AV. -
_(ei/t+Y(i_ei/t))AV2]; (7.11)
Xn ^ (1 - є2/т) AVi - е^А-п_2 + 4- IT [{1 + Y (1 - e-2'т)} - 1 е*/т + Y (1 - є2'1)} AV2]- (7.12)
Мы видим, что преобразование нулевого порядка с помощью компенсации с единственным нулем приводит к формуле интегрирования, коэффициенты в которой — простые выражения.
