Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
cl)z=pj/; ф0 = еТо/.
Частным решением неоднородного уравнения становится Х=,-0Х0+\Ф(^-т)Щ^т,
б
(H
где--постоянная по шагу интегрирования.
dt
Вычисляя интеграл, мы получим выражение: X^e'.''X0 +v (/-е-'о0(^,
которое еще раз интегрируется для получения окончательной фор мы разностного уравнения
t
X = X3+ f Xf )JA, о
откуда
X^X0 + Jo-1(e|o^-/)X0+Jo-2(eJo^-t J ,-/)(•
Из этого следует, что
Xn= Хл_,+JJl1 (еJ«-ir- /) Х„_,+Jn-I1 ieJ.-r - T Jn_, -/)(11
It In- 1
или по причинам, которые будут обсуждаться позже,
Xn=X^1+J^i (eJn'_/) f+ J-^1 (eW-rv,-/) P ,
\ (Jt
тг.к как
— f„_l.
Пример. Для простой однопараметрической задачи
x = kx2-\- /(/) при /(0 = 0;
Тогда моделирующим разностным уравнением будет Xn = Xn^+ \?kxn_x (е2к*п-іт- 1) (kxU), которое упрощается до
*Ж=-^=Ц1 +е^-.г).
Этот пример иллюстрирует ограниченность метода кусочно-линейного разностного уравнения.
Вычисление шагов гарантируется тем, что каждое приращение шага берется в соответствии с характеристиками местной устойчивости нелинейного дифференциального уравнения, но конечное значение вычисляется способом разомкнутого цикла суммированием приращений шагов.
Применение этих разностных уравнений не слишком полезно при моделировании без использования метода корректировки ошибки.
Интересно, что в некоторых ситуациях методы корректировки ошибки применены как стандартные. Они являются численным интегрированием уравнений вращательного движения.
Уравнения движения вращающегося тела применяются при проектировании практически всех транспортирующих систем—от автомобилей до подводных лодок, самолетов и переносятся на космические корабли.
Для этих случаев распространенные методики моделирования вращательного движения содержат:
уравнение Эйлера,
уравнения четвертого порядка,
уравнения направляющих косинусов.
Эти методики зависят от методики расчета оценки прямоугольной координатной системы, содержащей прямоугольные составляющие вращения (за исключением неортогональных уравнений Эйлера).
Если система критерию ортогональности не удовлетворяет, то производится незначительная коррекция координатной системы в сторону ортогональности. В таком процессе преобразования положения прямоугольной координатной системы допускаемые ошибки в вычислении устойчивого состояния никогда не достигают значительных величин.
6.3. АЛГОРИТМ ЛОКАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ БАУЛЕЗА
Рональд Баулез из HACA получил уравнение, идентичное уравнению (6.9) для моделирования нелинейных систем с помощью кусочно-линейных разностных уравнений. Он с большим успехом
применял метод, названный ЛЛ (локальная линеаризация) алгоритмом, в моделировании вращательного движения самолета с высокими характеристиками.
Баулез опубликовал свою работу в 1973 * г.
Этот документ демонстрирует значительный прорыв в быстродействующее моделирование вращательного движения. Он применил анализ возмущения для получения разностного уравнения.
Метод реализуется следующим образом. Зададимся
x=f(X, 0;
f может быть разложена в многопараметрический ряд Тейлора г f,x,o=f (X,. «0+(^+(?«+....
где 8X = (X-XJ и U = {t-nT).
Таким образом,
X=I(X.. „D + (^8X+(IL)1« + ....
Заметим, что
— (SX) = X; dt
мы можем также написать
(8 X) = Jn S X + f „ + (-|^ (t - пТ),
что является дифференциальным уравнением первого порядка.
Если Jn, fr* и (df/dt)n выдерживаются постоянными на всем промежутке Т, то оно становится кусочно-линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Решение примет вид
8 X = (J-1 (еГ V - /) f„ + (J-)2 (еV-1-TSn) (^f)J . Тогда можно записать
Хл+1 = Хл + оХ.
Его сравнение с уравнением (6.9) доказывает, что результаты идентичны, хотя предполагаемые процессы до некоторой степени различны. Без сомнения, рассмотренное ранее ограничение сохраняется для ЛЛ алгоритма.
И, наконец, как итог, подчеркнем, что методы разностных уравнений при моделировании, включающем большое количество векторов состояния, вызывают значительные трудности, если якобиан меняется при каждом переходе от одного шага к другому.
* Развитие и применение алгоритма локальной линеаризации для интегрирования уравнений скоростей четвертой степени в задачах моделировании полета в реальном времени. Баркер, Баулез и Вильяме, HACA TN-D-734/, дс.с 197.5
180
Это особенно заметно, когда якобиан является слабообуслов-ленной матрицей. Несомненно, все эти факторы влияют на решение о том, использовать ли кусочно-линейные разностные уравнения для моделирования нелинейных систем, либо численно интегрировать уравнения движения.
Глава 7. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ
ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В классических разработках по численному интегрированию» средневзвешенные оценки интегрируемой функции на интервале интегрирования обычно основаны на методах аппроксимации полиномами.
Если решать сложную систему уравнений (возникающую, например, при цифровом моделировании в реальном времени, цифровых компьютерных управляемых системах и других дискретных информационных системах), при аппроксимации появляются фазовое смещение и амплитудное искажение.
