Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
В начале 1970-х годов был сделан ряд попыток, которые в основном не увенчались успехом. Частные методики были разработаны для частных систем, к общим методам приблизиться не уда-
171
Усовершенстводанные меїтіїм моделирования нелинейных систем
Методы быстрых решений разностных уравнений
і \
, стрые решения усочно-линейных разностных уравнений
Быстрые решения нелинейных разностных уравнении
Методы быстрого численного интег-риродания
/ \
Усовершенство-данный числовой интегратор
Улучшенные оценка подынтегральных выражений
Рис. 6.3. Пути усовершенствования моделирования нелинейных систем
лось. На этой стадии автор принял несколько отличный метод, который оказался необычайно простым и легко применимым, и изло жил его впервые. Этот подход приводит к улучшению эффективности численно интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений путем улучшения оценки подынтегрального выражения (рис. 6.3).
Интересно, что это приводит к методу, разработанному для кусочно-линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих одному или двум свойствам, упомянутым ранее. Как оказалось, разностные уравнения были идентичны тем уравнениям, которые исследовал Рональд Баулез, применявший совершенно отличную методику: методику экспертных консультаций *. Оба метода рассматриваются в этой главе.
6.1. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОЦЕНОК ПОДЫНТЕГРАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ
Разработка улучшенного метода численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений из опыта автора и его убеждения должна базироваться на том, что численное интегрирование легче применить в цифровом моделировании непрерывных процессов, чем в методах моделирования разностных уравнений. Кроме того, такой подход легче осмыслить, о<н более полезен для инженеров, занимающихся моделированием, с ограниченным опытом. По этой причине этот метод будет рассмотрен первым.
Метод в ретроспективе обманчиво прост, но, чтобы к нему прийти, потребовалось три года. Целью является преобразование нелинейного дифференциального уравнения в кусочно-линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом, являющимся якобианом нелинейной системы и конечное значение которого
* Или экспертных оценок (примеч. ред.).
172
соответствует конечному значению нелинейной системы. Таким образом, коэффициент этого линейного дифференциального уравнения вычислен на основании якобиана и сохраняется постоянным на шаге интегрирования.
Кусочно-линейное дифференциальное уравнение решается с использованием алгоритма в три этапа:
Этап 1. Дифференцирование нелинейного дифференциального уравнения (приводящее к определению коэффициента, которым является якобиан нелинейного процесса).
Этап 2. Подстановка исходного дифференциального уравнения в результирующее выражение этапа 1 (это гарантирует, что конечное значение кусочно-линейного дифференциального уравнения будет подобрано в соответствии с конечным значением нелинейного дифференциального уравнения).
Этап 3. Численное интегрирование дифференциального уравнения, полученного на этапе 2, определение якобиана, зафиксированного на шаге интегрирования.
Пример одного процесса
X = kx2 + /(/). (6. 1)
Этап 1
x = {2kx)x+'f(t).
Этап 2
X=(2kx} [kx2 + f (t)) + f (0; (6.2)
'x=J(kx* + f(t)) + f(t). (6.3)
Этап З
Двойное численное интегрирование
i=j(***+/(0) + /(0-
Выбираем J и фиксируем на всем интервале интегрирования.
Двойное интегрирование (6.3) протекает значительно быстрее, чем единичное интегрирование (6.1), так как размер шага интегрирования в случае (6.3) может быть сделан большим, чем удвоенный шаг (двойное интегрирование) при (6.1).
Этот метод можно сделать более общим следующим образом:
x=f (X, 0; (6.4)
такая система может быть проинтегрирована численно применением кусочно-линейного дифференциального уравнения, представленного ниже. Этап 1
X = JX + +p. (6.5)
Этап 2
X=Jf (х, 0+-^^2.. (6.6)
dt
173
Рис. 6.4. Структурная схема численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения (6.4)
Этап 3
Численно интегрируя
X = Jf(X1 t)-
dt
выбираем J и фиксируем на всем интервале интегрирования.
Разница между классическими методами и методом подборки соответствующего якобиана может быть наглядно видна при сравнении их структурных схем. Классический подход представлен на рис. 6.4.
На рис. 6.5 показан кусочно-линейный метод, при котором подбирается якобиан, фиксируемый на каждом шаге интегрирования.
Другим путем для усовершенствования численного интегрирования кусочно-линейного дифференциального уравнения может быть метод, показанный на рис. 6.6. Этот метод иллюстрирует численное интегрирование (6.3).
Из двух кусочно-линейных методов автор предпочитает метод, показанный на рис. 6.6, так как он явно гарантирует, что условие равновесия (конечное значение) будет удовлетворено. Более определенно, если достигается равновесие:
df-= 0 при X = O;
dt
тогда из (6.3)
dt
X = Jf (X,0+-^-=>0 = f (X, о,
Ot
в то время как из (6.2)
d \
X = JX + — =>0 = JX,
1 dt
Рис. 6.5. Структурная схема численного интегрирования кусочно-линейного дифференциального уравнения (6.5)
