Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Частота зависит от последовательности исходов экспери-
ментов:

п

^(А)=/г'2/л(4 (3)

Если рассмотреть другую последовательность исходов, частота
может измениться. При рассмотрении примера урновой схемы
говорилось, что для большого числа наблюдений п доля цепо-
чек {со 1,..., со„}, для которых частота мало отклоняется от оп-
ределенного числа, приближается к 1. Поэтому изменчивость
частоты не исключает некоторого ее «идеального» значения,
около которого она колеблется и к которому в определенном
смысле приближается. Это идеальное значение частоты собы-
тия и есть его вероятность. Сказанное имеет весьма смутный
смысл, его можно рассматривать лишь как некое эвристическое
соображение. Как реальные кошки по Платону были несовер-

шенными «копиями» идеальной кошки (идеи кошки), так и
реальные частоты есть реализации абсолютной (идеальной)
частоты — вероятности. Единственное содержательное заклю-
чение, которое можно сделать, используя приведенные эврис-
тические рассуждения, что вероятность должна сохранять су-
щественные свойства частоты, т. е. она должна быть неотри-
цательной аддитивной функцией события, вероятность досто-
верного события должна равняться 1.

2.3. Определение вероятности. Предыдущие рассуждения
можно по-разному реализовать для определения вероятности.
Первоначальный наивный взгляд на вещи заключался в том,
что вероятности событий существуют объективно и поэтому
вероятность в определении не нуждается. Вопрос заключался
в том, как сосчитать эту вероятность.

а) Классическое определение вероятности.
Основным полем приложения теории вероятностей первона-
чально были азартные игры и анализ свидетельских показа-
ний. Азартные игры, связанные с картами, игральными костя-
ми, бросанием монет, естественно позволяли так строить соот-
ветствующие случайные эксперименты (этот термин появился
уже в нашем столетии), чтобы их исходы обладали симметрич-
ностью по отношению к условиям эксперимента. Такие исходы
трактовались как «равновозможные» и им приписывались оди-
наковые вероятности. Таким образом, если в эксперименте бы-
ло 5 исходов, то каждому элементарному событию ставилась в
соответствие вероятность 1/5 (из аддитивности вероятности и
равенства 1 вероятности достоверного события это значение
для вероятности элементарного события легко определяется).
Если событие Л представляется в виде суммы г элементарных
событий (л^я), то вероятность А в силу аддитивности будет
г/в. Так мы получаем то определение вероятности, которым
пользовались около 2-х веков:

Вероятность события А есть отношение числа исходов, бла-
гоприятствующих Л, к числу всех равновозможных исходов.
Под благоприятствующими Л исходами понимаются те, кото-
рые влекут А.

Это — классическое определение вероятности. Исходя из
этого определения, можно установить, что вероятность облада-
ет свойствами, указанными в п. 2.2. Определение удобно, не-
противоречиво, допускает простую интерпретацию полученных
в теории результатов. Недостаток — невозможность распро-
странения на эксперименты с бесконечным числом исходов,
или на всякий случай асимметрии исходов по отношению к
условиям эксперимента. В частности в классической схеме нет
событий с иррациональными вероятностями.

б) Аксиоматика Мизеса. Немецкий математик
Р. Мизес предложил для определения вероятности второе из
отмеченных свойств урновых схем — приближение частоты в

указанном там смысле к определенному предельному значе-
нию. Мизес предложил такую систему аксиом вероятности, где
в качестве первой постулировалось существование предела
частоты и этот предел назывался вероятностью события. Такая
аксиоматика, с одной стороны, приводила к существенным ма-
тематическим трудностям, связанным с возможностью варьи-
ровать последовательность экспериментов, которая не должна
влиять на значение вероятности, с другой стороны, определе-
ние носило чересчур эмпирический характер, поэтому было ма-
ло приспособлено для математического исследования. Идеи
Мизеса можно использовать при некоторых интерпретациях
результатов теории вероятностей, но для построения математи-
ческой теории они несостоятельны.

в) Аксиоматика Колмогорова. Всеобщее призна-
ние для построения теории вероятностей получила аксиоматика
А. Н. Колмогорова, предложенная им в «Основных понятиях
теории вероятностей». Эта аксиоматика использует лишь самые
общие свойства, которые должны быть присущи вероятности,
о чем говорилось выше. Колмогоров, во-первых, предложил уже
обсужденную выше теоретико-множественную трактовку поня-
тия случайного события, он рассмотрел и понятие вероятност-
ного эксперимента. Он постулировал существование для каж-
дого события, происходящего в случайном эксперименте,
вероятности этого события. При этом вероятность предпола-
галась неотрицательной аддитивной функцией-на алгебре слу-
чайных событий, для которых вероятность достоверного собы-
тия равна 1. Таким образом, вероятностный эксперимент фор-
мально задается следующей тройкой объектов: 1) множеством
£2, называемым множеством элементарных событий, 2) алгеб-
рой его подмножеств зф, элементы множества называются
случайными событиями, 3) неотрицательной аддитивной функ-
цией Р(Л), определенной на алгебре для которой Р(£2)=1,
Р(Л) называется вероятностью события А. При рассмотрении
случайных экспериментов с бесконечным множеством исходов
естественным является требование, чтобы М- было а-алгеброй,
т. е. чтобы вместе с каждой последовательностью событий
Ап М- содержало и счетное объединение [}Ап, при этом Р(Л)