Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

2.1. Выбор из нескольких возможностей. Случайный экспе-
римент. События. Наиболее просто схема, в которой появляют-
ся непредсказуемые явления, может быть описана как выбор
одного элемента из конечной совокупности. В теории вероят-
ностей для описания этой ситуации используются «урновые
схемы». Пусть имеется урна с шарами, которые различаются
между собой. Из урны «наудачу» извлекается шар. Слово «на-
удачу» означает, что может быть вынут каждый из содержа-
щихся в ней шаров. В дальнейшем мы еще уточним термин
«наудачу». Такой однократный выбор описывается, собственно
говоря, перечислением возможностей и дает мало чего для об-
суждения. Дело существенно меняется при изучении большого
числа таких выборов. После извлечения шара из урны мы, от-
метив, какой это был шар, возвращаем его назад и опять вы-
нимаем один шар из урны («наудачу»). Отметив, какой был
второй шар, возвращаем его в урну и опять повторяем опера-
цию и т. д. Пусть шары занумерованы числами 1, 2,. . ., б и мы
повторяем выбор п раз. Результат наших действий (будем в
дальнейшем называть их «экспериментом») описывается по-
следовательностью номеров извлеченных шаров: а\, а2, • • • , ап,
ссй61,5. Вопросы, которые интересуют нас в теории вероятно-
стей, заключаются в том, как часто в указанной последова-
тельности встречается тот или иной номер? На первый взгляд
вопрос бессмысленный: может быть все, что угодно. Хотя все-

таки есть некоторые ограничения, они основаны на следующем:
если щ — число извлечений шара с номером i, то п\-\-...+Щ=
= п. Это, конечно, тривиальное замечание, но как выяснится в
дальнейшем, оно послужит исходным пунктом для построения
достаточно развитой математической теории. Однако есть и
другое уже нетривиальное обстоятельство, которое продемон-
стрируем на простейшем случае s = 2. Выпишем все возможные
результаты п извлечений. Их будет 2П, это всевозможные по-
следовательности из цифр 1 и 2 длины п: пх-\-пч = п, где щ —
число единиц в последовательности, а «2 — число двоек. Обо-
значим через Ne число тех последовательностей, для которых
\щ/п—1/2|>е. Тогда для всех е>0 Hm2~nAfe = 0. Это уже не-

которое содержательное утверждение, указывающее, что для
больших п подавляющее большинство последовательностей
имеет долю единиц, близкую к 1/2. Если то же самое подсчи-
тать для случая s шаров, то можно убедиться, что доля еди-
ниц в последовательности в подавляющем большинстве после-
довательностей равна 1/s. Это справедливо для любого номе-
ра t^s. То свойство, что «встречаемость» различных номеров
в последовательностях должна быть одинакова, можно усмот-
реть непосредственно, без счета, используя свойства симмет-
рии: если поменять два номера местами, опять полу-
чим те же 2" последовательностей. Это свойство в теории
вероятностей трактуется как «равновозможность» появления
каждого из номеров в последовательности. Утверждения об от-
носительном числе последовательностей, у которых tii/n откло-
няется от 1/s меньше, чем на е, — примеры «закона больших
чисел», класса наиболее употребительных в приложениях тео-
рем теории вероятностей.

Рассмотрим понятие «случайного эксперимента», являю-
щегося обобщением рассмотренной выше схемы выбора. Пусть
в результате осуществления некоторого комплекса условий
происходит одно из нескольких событий, причем, вообще гово-
ря, при повторении условий события происходят разные. Тог-
да мы будем говорить, что у нас имеется случайный экспери-
мент. Он определяется совокупностью условий и набором
возможных исходов (наблюденных событий). Условия экспери-
мента могут как зависеть от воли экспериментатора (созда-
ваться искусственно), так и не зависеть, причем наличие или
отсутствие экспериментатора также роли не играет. Для нас
также не существенно, возможно ли в принципе наблюдение
исхода эксперимента. Вообще под понятие случайного экспе-
римента можно подвести любое достаточно сложное событие,
если в качестве условий выбрать такие, которые не полностью
определяют его течение; характер этого течения и есть резуль-
тат эксперимента. Главным для нас в случайном эксперимен-
те является неограниченная возможность его повторения. Толь-

ко для больших серий повторяющихся экспериментов и можно
получать содержательные утверждения. Выше уже приводи-
лись примеры физических явлений, в которых проявляется слу-
чайность. Если рассмотреть, например, радиоактивный распад,
то каждый отдельный атом радиоактивного элемента претерпе-
вает радиоактивное превращение случайным образом. Хотя
мы не можем следить за каждым атомом, можно представить
мысленный эксперимент, в результате которого мы устанавли-
ваем, какие из атомов уже претерпели ядерную реакцию, а
какие еще нет. Точно так, рассматривая некоторый объем га-
за, мы можем мыслить эксперимент, в результате которого оп-
ределяются энергии всех молекул, составляющих газ. Зная
возможные исходы эксперимента, мы можем представлять
эксперимент как выбор из нескольких возможностей. Опять
взяв урну с шарами, мы можем считать, что на каждом шаре
записан один из возможных исходов рассматриваемого экспе-
римента, причем любая возможность записана на одном из
шаров. Извлекая один из шаров, мы определяем, какая именно
из возможностей осуществилась. Такое описание эксперимента
удобно своей единообразностью. Укажем на две возникающие
трудности при сопоставлении эксперименту определенной урно-
вой схемы. Во-первых, легко представить эксперимент, допус-
кающий в принципе бесконечное число разных исходов. Так
будет всегда, когда в эксперименте измеряется непрерывно ме-
няющаяся величина (положение, энергия и т. д.). Но всегда в
практических ситуациях непрерывно меняющиеся величины из-
меряются с некоторой точностью. Во-вторых, в урновой схеме
имеется определенная симметрия возможностей, о которой го-
ворилось выше. Неестественно было бы ожидать, чтобы таким
свойством обладал каждый эксперимент. Однако можно нару-
шить эту симметрию, увеличивая число шаров, причем некото-
рые шары рассматриваются как идентичные. Неразличимые
шары соответствуют одному и тому же исходу эксперимента,
но число таких шаров меняется от исхода к исходу. Скажем
если эксперимент имеет 2 исхода и исходу 1 отвечает один
шар, а исходу 2 — 2 шара, то в длинной последовательности
испытаний исход 2 должен встречаться вдвое чаще, чем ис-
ход 1.