Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 10

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 110 >> Следующая

п

должна быть счетно-аддитивной функцией на зФ: если Ап[}Ат —
= 0 при пфт, то Р(иЛя) =2Р(Л„). Это означает, что Р —

п п

мера на зФ, а поскольку Р(£2) = 1, то эта мера нормирована.

§ 3. Задачи теории вероятностей

Первоначально теория вероятностей была наукой о том,
как, зная вероятности одних событий, вычислять вероятности
других. Разработка методов вычисления вероятностей для не-

2—2550 5

17

которых классов событий и теперь является составной частью
теории вероятностей, но только частью и далеко не главной.
Однако по-прежнему в теории вероятностей мы имеем дело
только с вероятностями событий, независимо от того, какой
содержательный смысл вкладывается в слова «вероятность со-
бытия А равна р». Это означает, что сама теория вероятнос-
тей не истолковывает содержательно свои результаты, не ис-
толковывает их так, чтобы можно было исключить термин «ве-
роятность». Нет утверждений типа «А происходит всегда», но
есть утверждения «А происходит с вероятностью 1».

3.1. Теория вероятностей и теория меры. Аксиоматика Кол-
могорова превращает теорию вероятностей в специальный раз-
дел теории меры, именно теорию конечной меры (очевидно,
нормированность и конечность по сути эквивалентны, так как
любую конечную меру можно умножением на постоянную
превратить в нормированную). Если это так, то может теория
вероятностей не нужна? Ответ на этот вопрос уже дан разви-
тием теории вероятностей после введения Колмогоровым его
аксиоматики. Теория меры существенным образом использует-
ся в теории вероятностей, но классическая теория меры собст-
венно содержит построение меры с помощью продолжения, по-
строение интеграла и изучение его свойств, включая теорему
Радона—Никодима. Новые задачи теории меры инспирирова-
ны теорией вероятностей: изучение сходимости мер, построе-
ние расслоения меры («условной» меры), они традиционно
уже относятся к теории вероятностей. Совершенно новое на-
правление в теории меры — исследование абсолютной непре-
рывности и сингулярности мер. Известная в теории меры тео-
рема Радона—Никодима служит только отправной точкой для
развития очень важной (в том числе для приложений) теории
абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных
мер, содержательность этой теории обусловливается широким
классом специальных вероятностных мер, рассматриваемых в
этой теории. Наконец, конкретность классов мер, появляющих-
ся в теории вероятностей, скажем произведений или «косых»
произведений мер, определяет особенность ее положения по
отношению к общей теории меры. Эта особенность проявляется
в используемых понятиях таких, как «независимость», «слабая
зависимость», «условная независимость», которые еще ассо-
циируются с определенными физическими представлениями,
последние же лежат в основе «вероятностной» интуиции. Эти
же понятия приводят к задачам, переформулировка которых
на язык теории меры оказывается громоздкой, маловразуми-
тельной, вызывающей недоумение, откуда такая задача может
возникнуть? (Для людей, знакомых с теорией вероятностей,
предлагается для примера сформулировать в терминах теории
меры задачу о вырождении для простейшего ветвящегося про-
цесса.) Тем не менее имеется ряд разделов теории вероятнос-

тей, которые можно непосредственно отнести к теории меры,
например теория меры в бесконечномерных линейных прост-
ранствах. Возникнув из вероятностных задач, они традиционно
остаются в рамках теории вероятностей.

3.2. Независимость. Понятие независимости — одно из ос-
новных в теории вероятностей, именно оно, по мысли Колмого-
рова, отличает теорию вероятностей от теории меры. Более
точно о независимости будет говориться дальше, сейчас мы
только отметим, что вероятностная независимость и физичес-
кая независимость событий (отсутствие влияния одного собы-
тия на другое) по содержанию одинаковы. Вероятностная неза-
висимость как математическое понятие допускает точное оп-
ределение, оно будет обсуждаться ниже. Сейчас же отметим,
что при определении вероятностного эксперимента в скрытом
виде независимость уже использовалась. Одно из требований,
предъявляемых к эксперименту, — возможность его неограни-
ченного повторения. Повторение его предполагает восстановле-
ние условий эксперимента, после чего результат только что
проведенного, да и всех предыдущих экспериментов не дол-
жен влиять на исход следующего. Это означает, что события,
происходящие в различных экспериментах, должны быть неза-
висимы. Именно законы большого числа независимых экспери-
ментов и исследуются в теории вероятностей. Один из законов
такого рода уже формулировался на наглядном уровне. При-
ведем для примера формулировку закона больших чисел в
форме Бернулли: «Пусть в последовательности независимых
экспериментов событие А происходит с вероятностью р,
уп(А) — частота события А в первых п экспериментах. Тогда
для всякого е>0 вероятность того, что |тп(Л)—р\>е, стре-
мится к нулю при п^-оо». Отметим, что значение уп{А) слу-
чайно, поэтому выполнение неравенства, приведенного в фор-
мулировке теоремы, — случайное событие. Приведенная теорема
дает точную формулировку того факта, что частота собы-
тия приближается к ее вероятности. Как мы увидим в дальней-
шем, доказательство этого утверждения носит строго матема-
тический характер. Может показаться парадоксальным, что
можно с помощью математики получить точное знание о слу-
чайно происходящих событиях (то, что это можно сделать в
детерминированном мире, скажем, рассчитать сроки лунных за-
тмений, понятно), ведь кажется выбор вероятности р допускает
произвол, требуется лишь выполнение аксиом Колмогорова.
Однако извлечь что-то содержательное из теоремы Бернулли
можно лишь в том случае, если события с малой вероятностью
действительно на практике происходят редко. Именно такого ро-
да события (или события, вероятность которых близка к 1) ин-
тересуют нас в первую очередь в теории вероятностей. Если
стать на ту точку зрения, что события вероятности 0 практичес-
ки не происходят, а событ»я вероятности 1 происходят всегда,

Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed