Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

До сих пор говоря об исходах эксперимента, мы подразуме-
вали взаимоисключающие всевозможные исходы. Они обычно
называются «элементарными событиями» или «элементарными
исходами». Используя их, можно построить «алгебру собы-
тий», наблюдаемых в эксперименте. События, наблюдаемые в
эксперименте, будем обозначать Л, В, С,... Определим опера-
ции над событиями. Суммой событий Л и В называется такое
событие, которое происходит тогда и только тогда, когда про-
исходит одно из событий Л или В, она обозначается А-\-В или
А[)В. Произведением (пересечением) двух событий А и В на-

зывается такое событие, когда происходят оба события Л и В
(одновременно), оно обозначается АВ или А(]В. Событие А на-
зывается невозможным, если оно никогда не происходит в эк-
сперименте (обозначим его V), и достоверным, если оно проис-
ходит всегда (обозначим его £/). Событие А называется проти-
воположным событию А, если оно состоит в том, что А не
произошло. Событие АВ называется разностью событий Л и В
и обозначается Л\В.

Совокупность событий, наблюдаемых в некотором экспе-
рименте, называется алгеброй, событий, если вместе с каждым
событием А она содержит Л, а со всякой парой событий А и В
их сумму А -}- В (совокупность з& не пуста). Так как Л-(-Л = £/,

то и<с&, У^С^М-. Если А, В£&, то АВ=^(А-\-Ъ)£&, АВ^яФ.
Таким образом введенные выше операции над событиями не
выводят из алгебры. Пусть Ль Лг, ...,Ат — некоторое мно-
жество событий. Существует наименьшая алгебра событий,
содержащая эти события. Мы введем естественное предположе-
ние, что события, наблюдаемые в эксперименте, образуют ал-
гебру. Если упомянутые выше события Ль...,Лт — все эле-
ментарные события для данного эксперимента, то алгебра со-
бытий, наблюдаемых в эксперименте, состоит из событий вида

Л=2Л*> ЛсТГй, (1)

*6л _

Л—любое подмножества отрезка целых чисел 1, т\ если Л--=0,
то считаем, что А — невозможное событие. Обозначим через й
множество, элементами которого являются элементарные со-
бытия. Каждое событие можно рассматривать как подмно-
жество £2. Точнее, каждому событию А можно поставить, в
соответствие множество тех элементарных событий Ак, кото-
рые входят в сумму справа.

Введем еще одно понятие. Событие Л влечет В, если В
происходит всегда, когда происходит Л; этот факт обозначает-
ся так: Лей, В=>Л. Тогда каждому событию Л отвечает мно-
жество элементарных событий {Ак : АксА}. Между события-
ми, рассматриваемыми в эксперименте, и подмножествами □
установлено тем самым взаимно однозначное соответствие, при
этом сумме событий соответствует объединение множеств, про-
изведению событий — пересечение множеств, противоположно-
му событию — дополнение множества до й. Интерпретация со-
бытий как подмножеств некоторого множества позволяет нам
поставить теорию вероятностей на фундамент теории множеств
и в дальнейшем избегать таких неопределенных терминов, как
«событие», «происходить в эксперименте» и т. п.

2.2. Частоты. Вероятность как идеальная частота. Рассмот-
рим некоторый эксперимент, пусть й — множество элементар-

ных событий, которые происходят в эксперименте, — алгеб-
ра событий, наблюдаемых в эксперименте. в€ — это совокуп-
ность подмножеств £2, которая вместе с Л содержит £2\Л и с
каждой парой множеств А, В содержит А\]В. Будем элементы
множества £2 обозначать со, со 1, со' и т. д. Пусть эксперимент
повторяется п раз. Обозначим через со^ исход в &-ом экспери-
менте, п-краткое повторение эксперимента означает, что опре-
делена последовательность {соь . . . , со„}, т. е. точка пространст-
ва £2" (м-ой декартовой степени множества £2). Событие А
произошло в к-ои эксперименте, если со/гбЛ. Обозначим через
п (А) число появлений события А среди результатов этих п
экспериментов. Величина

уп(А)^1-п{А) (2)

называется частотой события А (в указанной серии экспери-
ментов). Частота события А характеризует связь между собы-
тием А и условиями эксперимента. Так, если условия экспери-
мента всегда влекут появление события А, т. е. связь между
условиями эксперимента и событием А детерминирована, то
vn(Л) = l. Если А невозможно в условиях эксперимента,
vn(Л)=0. Чем ближе Vn(Л) к 1 или к 0, тем «жестче» связа-
но появление (непоявление) события А с условиями экспери-
мента.

Укажем основные свойства частоты.

1) 0^т„(Л)^1, при этом vn(l/)=0, v„(c7) = l. Два собы-
тия А м В называются несовместными, если АВ = У, т. е. эти
события не происходят одновременно.

2) Если А и В несовместные события, то Vn(Л+B) =
= \п(А)-^^п{В). Таким образом, частота — аддитивная неотри-
цательная функция множества, заданная на алгебре она
нормирована: V,! (£2) =\-„ (£/) = 1.