Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
t
£ (0 = и(*. /(«, I,(«))<*«
является мартингалом. Так как 5<т^- с вероятностью Р^1Л:==1,
то
Так ка|с = «(я, х) с вероятностью Р5>х= 1, то
Имеем
1{ху,) = и{%у, | /(я, £Дн))дХ (18)
при этом /(и, |л(и)) совпадает со значениями функции / на
области V, именно теми значениями /, которые входят в правую
часть (15). Далее, если ху-<Т, то и(ху*, %1(Ху)) = ^(чу, 1ЛТ^')).
если ху — Т, то и(Ху, (*>')) = Ф(1Л7')). Подставляя эти зна-
чения в (18) из (17), получим (16). □
Аналогично теореме 3 доказывается следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и функция
ъ^,х) непрерывна вместе со своими производными ч)'х, Т)"хх
в замыкании области V. Если и (^, х) удовлетворяет на V урав-
нению
ди(^х) х) + ъу, Х)и({, *) = /(*, х) (19)
с граничными условиями и^, х)\х^5{ = ^^, х), 0<£<7\
и(Т, х) = у(х), х&/Т; то иЦ, х) представимо в виде
х)=М/,^(т^., 1{(ху))ехр | | v{a, 6(и))йа|/{тг<т} +
+ МЛ^ф(^(т))ехр || ъ(и, !,("))<Ц /{*^--г} —
-М1>х | /(и, Е,(и))ехр |*>(т, 1^))^^- (20)
§ 2. Краевые задачи для эллиптических операторов
Пусть а(х) и В(х)—ограниченные достаточно гладкие
функции со значениями из К* и Ь(РЛ) соответственно, ак(х),
&=1, 2,..., й, — координаты а(х) в естественном базисе,
Ьш(х) —элементы матрицы оператора В(х) в этом же базисе.
Будем предполагать, что существует марковский диффузион-
ный процесс с такими диффузионными коэффициентами. Пусть
й — ограниченная область в Яа с гладкой границей С. Будем
рассматривать дифференциальный оператор
£«=4 2. *"<*)^<*)+2 «*<■*);&<*) (21>
(из того, что Ь'к (х) являются диффузионными коэффициентами,
вытекает неотрицательная определенность матрицы (Ьш{х)).
Мы будем предполагать, что эта матрица положительно опре-
делена. Поэтому оператор Ь будет эллиптическим.
2.1. О моментах выхода из ограниченной области. Пусть
£(0—однородный марковский процесс с диффузионными ко-
эффициентами а(х) и В(х). Обозначим через Хо момент пер-
вого выхода из ограниченной области (3:
тс = Ы{5:р(|(5), *\О)=0},
здесь р(х, г7)—расстояние от точки х до множества г7, если
для всех 5 будет р(|(5), Х\О)>0, считаем тс = оо. Наша цель
в этом пункте доказать, что Мжте<°° и значит
Рх{То<+°°} = 1.
Предварительно установим одно предложение, имеющее
самостоятельный интерес.
Лемма 1. Пусть Цх)—дважды непрерывно дифференци-
руемая финитная функция. Тогда процесс
I (*) = / (I (*))- | 1/(1(5))^
является мартингалом относительно потока 5Г ^ и меры Рх,
каково бы ни было х.
Доказательство. Имеем
I &)=Щт/(1 (А))-/(I (0)+ I Щ^ь/(I (5))с?5.
Из леммы 1 § 1 вытекает, что
Мх/ (£(А)) = А/./(х) + кал(х),
где <хк(х) ограничено и ал(л)->0 и А->0 равномерно по х.
Далее
я я
$ М^/ (| (5) й8 = А/./ (*)+ $ [М,/./ (| (5))- I/ (X)]
о о
Легко убедиться, что вир | М^?; ($)) — £ (л) |->0 для ВСЯКОЙ
X
непрерывной финитной функции g. Поэтому равномерно по X
я
11т 4-С [Мх1/(1(8))- £/(*)]^ = 0.
Значит,
М,(?<+л-Ы^) = о(А), (22)
где величина о (А) зависит от | (^), но -^р—»■ 0 стремится к нулю
равномерно по |(0- Поэтому точно так, как в теореме 1 § 1,
устанавливаем, что из (22) вытекает утверждение леммы. □
Так как й ограничено, можно указать такой шар 5, что
С7сг5. Тогда при х£в
Рх{тс<Т8} = 1.
Значит, изучая ограниченность тс достаточно рассмотреть слу-
чай (3 = 5.
Теорема 1. Равномерно по д;Є5 Мхтв ограничено.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что Б={у : \у\ <г}. Пусть с&Яа, \с \ = 1,
ф(л:) = ехр{&(с, х)}.
Тогда
1<Р(х)=ехр{к(с, х)} (с, а(х))+^-(В(х)с,с) .
Обозначим через а = Бир | а (х) |, р = іп!(5 (х) с, с). По предпо-
х^ х^
ложеншо о положительной определенности В (х) будет Р>0.
Поэтому
ІФ (х) > ехр {-кг} [ -ак + ~ Р]
За
и, выбирая к=-р-, получим при лб5
г I \ Г За2'' 1 За2 . п
£ф(х)>ехр |--р-| — = С1>0.
Пусть 5<т5. Тогда £ ($)б5 и 1ф(£(5)>^1. Используя то, что
ф(Е (0) —^Ф(1 является мартингалом, получим
о
м.
Ф(К^ЛО)- С /-Ф(|(5))й?5
= ф (■*).
р 7-Ф(1(я))й?5 = МхФ(£(т,лО)-Ф(-«).
б
с,МлЛ< < йир е«(«.*) — 1п1 е*(с>*> < е*г.
х^ х^
Так как для МхтвЛ^ получена равномерная оценка сверху, то,
переходя к пределу при £-»--1-00, убеждаемся, что она справед-
лива и для т^:
