Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 66

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 110 >> Следующая

п~°°к=\

При г>0

6г / А

(Возможность внесения М5, х под знак предела вытекает из
того, что сумма под знаком предела не превосходит 1.) Так как

= I П(1-Я,(я + -^-, ^)^Г + о(^г))Л,

.' = 1

то

2" ' / 2я

оо г к

Г ( 'с5 )

= ^ехр |— ^ А,(5+м, х)йи — (1: — 5) г\%{1;, х)сИ.

Отсюда вытекает, что распределение т имеет по мере Р5, х не-
прерывное распределение с плотностью

^Рз.х^КЦ^Т^ехр {-$Ц«, х)с1и\%у,х). (18)

Из непрерывности распределения т вытекает, что с вероятностью
так что

"^°°,H-i<2"(<-*>

= Iim 2 np(s + -W-, x, s + {x})x
XP(s + ±x, s+ i±i, Л\{х}) =
= lim 2 n(l-^(s + bi-,x)4-0(l))x

x(^ (s + Jr, ■*) + <>(-^r))яx, л).

Отсюда и получаем (17). □

Замечание. Из формул (17) и (18) вытекает, что при s<^

n(t, х, Л) = Р^{^(т)бЛ|т = *}.

2.2. Уравнения Колмогорова.

Теорема 2. Для чисто разрывного процесса, удовлетво-
ряющего соотношению (14), справедливо каждое из следую-
щих уравнений для вероятности перехода

-§-sP(s, x, t, A)=^q{s, x, dy)P(s, y, t, A), s<t, (19)

~P(s, x, t, л) = $ P(s, x, t, dy)q(t, y, A), t>s. (20)

Первое уравнение называется первым (обратным) уравнением.
Колмогорова, второе — вторым (прямым) уравнением Колмо-
горова.

Доказательство. Имеем

P(s — h, x, t, A) — P(s, x, t, A) =

= §[P(s — h, x, s, dz)—I{xçdz]]P(s, z, t, A).

Поэтому

\P(s-h, x, t, A)-P(s, x, t, A)\<
<var|P(s — h, x, s, •) —

Справа написана вариация разности мер, 1т — мера, сосредо-
точенная в точке х, равная в ней 1. Очевидно,

var|P(s — h, x, s, •) — 1{х) |<(1— Р (s — h, х, s, {х}) +

+ P{s-h, х, s, X\{x})=2\l — P{s — h, x, s, {x})\<

<2(\—e~ch).

Поэтому P(s, x, t, A) непрерывно по s. Аналогично можно
установить непрерывность P(s, x, t, A) по t и по совокупности
переменных s и t. Из непрерывности по t выражения, стояще-
го под знаком предела в левой части (14), и равномерной
сходимости вытекает, что q(t,х,А) непрерывно по t. Имеем

~(P(s-h, x, t, A)-P(s, x, t, Л)) =

= (P{s — h, x, s, dz) — I{XQiz})P (s, z, t, A).

Из (14) вытекает, что существует предел справа и что он ра-
вен правой части (20). Поэтому существует и предел слева,
который представляет собой левую производную функции
P(s,x,t,A) по s. Эта производная непрерывна по s. Поэтому
она совпадает с обычной производной и выполнено (19). Ана-
логично из равенства

j(P(s, x, t + h, A)-P(s, x, t, Л)) =

= jj P(s, x, t, dy)~(P(t, y, t + h, A)-IA(y))

получаем уравнение (20). □

Замечание. Используя функции h(s, х) и л. (s, x, А),
уравнение (19) можно переписать так:

-§sP(s, x,t, A)=-%(s, x)P(s, x, t, A) +
+ X(s, x))n(s, x, dy)P(s, y, t, A).

Так как

-£sP(s, x, t, A)+%(s, x)P(s, x, t, Л) =
= — expj—^X{u, x)du^s^&xp^K(u, x)di)jP(s, x, t, A)

§exp — ^%(u, x)da P(v, x, t, A)dv =

S { V

= IA (x) — exp j$ % (и, x) rfttj P (s, x, t, A),

то получаем следующее интегральное уравнение для Р(я, х, t, А)
Р(5, х, Л Л) = /А(л;)ехр | — ^Я (и, л:)йн| +

+ ^к(ъ, х)ехр| — ^к(и, х)а"и\п^, х, йу)Р(р, у, А)йу.

(21)

Уравнение (21) можно решать методом последовательных при-
ближений. Если положить

<?0(5, х, Л) = ехр | — ^ Я, (и, х) йи| /д (х),

С?„(5, X, Л) =

= ^ Я х) ехр | —-1 Я. (и, х) я (V, х, йу) у

(22)

то

P(s, х, t, A)=%Qn(s, х, t, A).

(23)

n=0

Уравнение (21) имеет смысл и единственное решение, опреде-
ляемое формулами (22) — (23) и при более широких условиях:

а) функция k(t, х) измерима по совокупности переменных,
неотрицательна и ограничена,

б) функция n(t,x,A) есть вероятностная мера по А, при
k(t,x)>0 n(t, х, {х}) =0, при k(t,x)—0 я(/, х, {х}) = 1, для всех
AG9Sn(t,x, А) измерима по t,x.

Если вероятность перехода марковского процесса удовлет-
воряет уравнению (21), в котором к и я удовлетворяют а) и
б), то процесс будем называть чисто разрывным.

а) Процессы с конечным множеством со-
стояний. Пусть X — конечное множество, & — о-алгебра
всех его подмножеств. Для задания вероятности перехода до-
статочно задать функции

p(s,x, t,y)=P(s,x, t,{y}), х,уеХ, O^s^t,

так как

P(s, х, t, Л) = 2 P(s> У)-

Условие I выполнено автоматически, условие II сводится
к следующему:

p(s, x, t, y)>0, ^ p(s,x,t,y) = l.

Уравнение Чепмена—Колмогорова имеет вид: при s<t<u
p(s, х, и, у) = 2 p(s, x, t, z)p(t, z, и, y).

Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed