Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь М^.д- —мера, отвечающая процессу %Г (0, начинающемуся
в момент 5 из точки X.
Замечание. Пусть ЬЬ = Ь, коэффициенты у Ь уже не за-
висят от Ь. Тогда распределение процесса 1^(5 + 0 не зависит
ни от 5, ни от Т. Решение задачи (4) можно записать для всех
Т с помощью такой формулы:
и (*, х) = ЛМ> (£ (0) + Мл | / (и, | (и)) йи, (7)
о
процесс £(ы) —однородный марковский диффузионный процесс
с диффузионными коэффициентами а(х) и В(х), определяемы-
ми оператором Ь.
1.2. Формула Каца. Пусть v(t,x)—ограниченная непре-
рывная функция. Рассмотрим обратную задачу Коши:
^иу, х) + Ь(и^, x) + v(t, х)иу, х) = 0, ЩО, Т], (8)
и(Т, х) = ч(х);
функция ф — ограничена и непрерывна.
Теорема 2. Пусть —такой же марковский диффу-
зионный процесс, как в теореме 1. Тогда
а(*. х) = М,,жФ(^(Л)ехр||г»(м, £Ди))й?и|. (9)
Эта формула называется формулой Каца.
Доказательство. Пусть 0^5<^7". Рассмотрим про-
цесс
1Л0)ехр Л г» (и, |,(и))</и|. (10)
Покажем, что он является мартингалом относительно меры
Р8,х- Как и в теореме 1, достаточно показать, что
М^(£(* + А)-£(0|*"?) = °(А)-
Имеем
м,,* (Б (* + А) - £ (0 | = ехр К V (и, |, (и)) йи
X
\ v(u,l(u))du
X , (и (* + А, 1, (* + А)) е ' (0) | =
= ехр|$г/(и, 1Ли))^и|м^(и(/ + А, £Л' + А)) +
+ Аи(* + А, £,(^ + А))г»(<, ело)-«(л М'))|*"?) + о(А) =
=ехр||г>(и, 1л«)) ыо)ело). «с, ы*)))+
+ 1 Эр £Л'))Я(*. Ы0) + «С, £Л')М'. 1Л0)]А +
+ о(А) = о(А)
(мы опять пользуемся леммой 1 § 3 гл. 1 и уравнением (8)).
Значит, 5(0 мартингал и
М8,Ж5(7)=М,,Ж5(5).
Но £8 = ы(5, ^(я)) =и(з, х) с вероятностью Р5, х=1. Отсюда по-
лучаем (9). □
Замечание 1. Пусть \^,х)—ограниченная непрерывная
функция. Тогда решение уравнения
^а(*. х) + Ь,иу, х)+ч)({, х)иу, *) = /(*, х), te[0, Т],
и (Г, *) = ф(*) (11)
представимо в виде
а(*. л)=М,^Ф(^(Л)ехр |§*>(а, |,(а))в*а|-
|,(я))ехр$г>(а, ^. (12)
< и )
Доказательство этой формулы сводится к доказательству
того, что при 0^5<^^7 процесс
£(*) = «(*, |,(0)ехр|5г»(и, |,(а))в*а|-
-$/(«. Ь (а)) ехр | г» (т, |, (т)) а?т| оа (13)
является мартингалом, а это доказывается точно так, как в
теоремах 1 и 2.
Замечание 2. Пусть Ьг = Ь (т. е. коэффициенты не зави-
сят от 0. Тогда решение уравнения
дамУ-Ьи{*, х)-ъЦ, х)иу, *) = /(*, х),
а(0, х)=<р(х)
представимо в виде
а(*. х) = М,Ф(£(0)ехр{^(«. +
+ М,$/(«, |(5)) ехр \\ V (а, £(а))я*а)я*«, О4)
о 1о 1
где |(а)—однородный марковский диффузионный процесс та-
кой же, как в формуле (7). Эта формула точно так получается
из (13), как (7) из (6).
170
1.3. Смешанная задача для обратного параболического
уравнения. Пусть 7">0, й^,х)—достаточно гладкая функция,
определенная на [О, г]х#а Для которой уравнение в^^) = 0
определяет гладкую поверхность в [0, 7"]хра сечения этой по-
верхности 5г гиперплоскостями, перпендикулярными оси яв-
ляются гладкими поверхностями в ра являющимися границей
ограниченной односвязной области Уг. Обозначим У={^,х),
t£[0, Т], л:бУ(}. Будем рассматривать такую граничную задачу
в области V:
дЛ^1 + 1{и^, *) = /(*, х),
и (Л х)\Хф, = У(*, х), 0<t<T,
и(Т, х) = ф(х). (15)
Функция х) достаточно гладкая, <$(х) и /(^, х) непрерыв-
ны, ^(г1, х)*=ч(х) при лб5г.
Обозначим через V границу области V (она состоит из
поверхностей и Щ X ^ и 1/г). Через ху, будем обозначать
момент первого выхода процессов из области V.
ху,=Т, если ^(Об^Л для ^б[5, Г], если б(^, х)>0 при
(^; л)6\/, то при Ху, <7\ тк, совпадает с первым моментом, для
которого (7(^, |Д^)) = 0. Очевидно тк, есть момент остановки
относительно потока &\ пр и вероятностной мере Р^ х, каково бы
ни было хвХ.
Теорема 3. Пусть и(Ь, х) — решение задачи (15). Тогда
а(*, х) = ЩгХЩту„ Ь(*у))*{Ху1<Г} +
Ху
-т-Щ,хЧ{Ъ(Т))1{Ху,=Т}-Ш1>х 5 /(и, 1,{и))с1и. (16)
Доказательство. При сделанных предположениях функция
иЦ, х) допускает продолжение на [0, Т]ХЯа, для которого
производные и'(, и'х, и"хх ограничены и непрерывны (мы обозначаем
продолжение тем же символом). Продолженная функция будет
удовлетворять уравнению (2) уже в [0, т]хра при этом в
[0, 7']хрй\1/ функция !^,х) полагается просто равной левой
части (2), куда подставлено выбранное продолжение функции
ы(£, х). Как было доказано в теореме 1, процесс
