Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 2. Пусть f(x)—непрерывно. дифференцируемая
функция из R в R и f (х) ограничена, a w (t) — одномерный
винеровский процесс, тогда с вероятностью 1 существует
!Е1Л.'И£))И^)—(£)]■ V»
Доказательство. Обозначим величину под знаком предела
в (33) через £„(/)■ ТогДа
5я(/)-5и+1(Л= 2 (/(да(А))Гда(* + 1)_вШ]_
0<*<2Л
2 [/(•(£))-/(-(т&"
0<*<2,£
Поэтому
2Ä + 1
X
М|5Л/)-5л+1(/)12= 2 м[/(«(^))-/(«'(-тЙ-))]1Х
0<*<2ге
x[.(i+l)_.(»*J.)]-+2 2 м[/(.(£))_
0<*<i<2re
-Л-(т^ШИт^)—(^)] [/(•(£)-
-/(•№Ч)п-т--(т^)]-
Вторая сумма равна нулю, так как •ги){-1^11 2"+' )
не зависит от остальных сомножителей и М ^' ^ ^ —
— ^ = 0. В первой сумме сомножители под знаком суммы
независимы, поэтому одно слагаемое имеет вид
к \\ , I I 2к+ 1
М
При некотором L будет выполнено неравенство | / (х) — / (у) | <С
<L \х — у\. Значит,
M|S„(/)-5n+1(/)|2<P ^ (^ir)2«v2-».
0<А<2*
Так как
Р {| Sn (/) - 5л+1 (/) | > 2-"/4} < С] • 2- • 2"/2 = сх • 2-п/2,
то утверждение леммы вытекает из теоремы Бореля —Кантелли. Q
Предел (33) будем обозначать
i
\f(w(t))dw(t).
о
Замечание 1. Аналогично устанавливается существование
с вероятностью 1 предела
J(/(w(0). dw(t)) =
-JSjsj'H^M1*1)—<34>
здесь w{t)—винеровский процесс в Rd, f{x)—непрерывно
дифференцируемая функция из Rd в Rd, f'(x)—ограничено.
Замечание 2. Можем определять инт'еграл |(/(w(s)),
о
dw(s)) как предел
2e(/W£)M^bw(£)>
0<ft<2 /
доказательство существования с вероятностью 1 этого предела
таково же, как в лемме 2. Обычным образом определяем
t+h t+h t
S-S -$•
/00
Лемма 3. Если функция /(х) ограничена, то выполняются
равенства
1) М J (f(w(s)), dw(s)) = 0;
2) М
3) М
t+h
t
t+h
I (f(w(s)),dw(s))
t+h
M j \/(w(s))\2ds;
t
-от
4) при z6Rd
(t+h
M exp J (/ {w (s)), dw (s))\(w(t + h) — 'W(t), z) =
t + h
= M J {/(w(s)), z)ds + o(h);
tt+h
5) Mexp j (f(w(s)), dw{s)) =1+0(A).
Доказательство. Будем использовать предельный пе-
реход, с помощью которого определялся стохастический ин-
теграл. Первые три утверждения получаются очевидным обра-
зом. Если |/|^с, то, используя неравенство
1<М(«^(,(.(£)),.(^)-«(£))}|.(£))-
= ехр { \f{W{ln)) |} <ехр [с2 ^яп),
можем убедиться, что
t + h
1 < ЙЬехр |х \ (/ (w (s)), dw (s))j < exp {hVc2}.
Отсюда вытекает 5). Далее,
(t+h л
Mexp H (f(w(s)), dw(s))\(w(t+h) — w(t), z) =
= MJ1+ J (f(w(s)), dw(s))\(w(t + h)-w(t), z) +
t+"
+ М0й=М 5 (f(w(s)), z)ds+mh,
где
't+h \2/ (t+h
|0„|<M^ 5 {f(w(s)), dw(s))j (^exp| $ (/ (w(5)), ato (s))j +
-т-expj- J (/(то(я)),А?гю(я))|^!та(^Л)-гю(0, г)|.
Двукратное использование неравенства Коши и 3) и 5) убеж-
дает, что М|0Л| =о(п). □
а) Мартингалы, связанные с винеровским
процессом.
Теорема 1. Пусть f{x)—непрерывная и ограниченная
функция из Rd в R, для которой существуют ограниченные
непрерывные производные f'(x) и f"{x). Если а(х) и v(x) —
ограниченные непрерывные функции из Rd в Rd и Rd в соот-
ветственно, и а'(л:) ограничена, то процесс
£(0 = / (w(0 + ^)ехр К (а(*+ да(s)), ato(s)) +
w
+ jj [г»(л:+гю(я)) -i | а (л: + w(s)) |2] rfs -
о >
\ Is
— ^Fa,v/(x + w (s)) ехр Ш а {х + да (и)), fiTay (и)) +
о 1о
+ [v(xA-w(u)) — 4 |а (лг4-щ;(и)) |2j a?a|a?s,
где = ~ А/ + (а (л), /' (*)) + *> (х) / (х), А/ = sp /",
является мартингалом.
Доказательство. Достаточно показать, что М (£ (t -J- А)—
— £(0| #*?) = о(А), где — ст-алгебра, порожденная w(s), s<*.
Легко видеть, что
/'+« р
м( 5 Z,e,„/(jc-tT»(s))ехр К(а(л:+ «(»)), dw(a)) +
+ jj + да (а)) — j-|а(jc + гю(и)) |2] aTttj 1=
= hLa,vf (x + w(t))exp К (а(л-f и»(а)), +
U
+ J [г; (*)+да (к))-l\a{x + w{u))\*] du\ + о (А).
о >
Далее,
п
/(л:+да(^-т-/г))ехр | ^ (а(л+да(х)), а?да($)) +
+ Л [ъ(х + ъ>(5))-±-\а(х+®)(5))\211с18\--
0 >
— /(х+му)) ехр К(а(л+ да (я)), аГда^))-}-
10
о
