Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 65

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 110 >> Следующая

Рх{1 (tx)eAu l(tn)eAn\^°u} =
= Р£«.){Ё(*1-и)е4, Ê('»-»)eAJ. (12)

Пусть u(t, x) =Ttf (x). Тогда для всех х£Х числовой процесс
u(t,%(t—s)) является мартингалом по мере Рх.

1.3. Регулярность. Нас будет интересовать вопрос, когда
марковский процесс можно считать непрерывным или не имею-
щим разрывов второго рода, непрерывным справа. Следующий
общий результат вытекает из (см. статью I, гл. 4, § 1, теоре-
ма 6 данного тома). Пусть X—полное метрическое простран-
ство с метрикой р(х, у), 9$ — а-алгебра, порожденная шарами.
Обозначим через Sr(y) шар с центром в точке у радиуса г.

Теорема 1. Пусть вероятность перехода процесса
P(s, x, t,A) удовлетворяет условию равномерной стохастичес-
кой непрерывности: для всех Т

limsup sup P(s, x, t, X\Sr(x)) = Q. (13)

n-<-0 xQX t<T,s<T,\t-s\<h

Тогда суще.ствуют такие функции L(^,cö), что: а) ls(t, со) как
функция t>s не имеет разрывов второго рода, б) Ps,x{ls(i, «>) =
= h(t, ы)} = \ Для всех s6^+, хеХ.

Доказательство. Рассмотрим значение процесса
ls(t, со) на множестве ЛП[s, оо), где Л — множество рациональ-
ных точек. Как показано в упомянутой выше теореме, %s(t, со)
на ЛП[s, оо) имеет с вероятностью Р5, х=1 предел по любой
убывающей или ограниченной возрастающей последователь-
ности аргументов. Процесс £s(/+, ш) =£s(/, со) и будет удов-
летворять нужным требованиям. □

Замечание. Легко привести достаточные условия, чтобы
процессы ls(t) оказались непрерывными. Для этого достаточно,
чтобы для всякого г > О, Т > 0, xQX

n-l

lim У \P(s,x,tk, dy)P(tk,y,tk+l, X\Sr(y))^0,

s = t0<tt < .. . <tn = T, Atk = tk+x — tk.
Сумма под знаком предела есть

а величина под знаком Ms, ж стремится (при почти всех г) к
числу скачков процесса, превосходящих г. В частности, приве-
денное условие будет выполнено, если равномерно по t?S^T и

Ff(t,x, t+h, X\Sr{x))=o(h).

а) Условия, связанные с мартингалами.
Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство,
Сх — пространство непрерывных ограниченных функций с
обычной нормой. Будем предполагать, что выполнены следую-
щие условия: Ф1) операторы Ts,t переводят Сх в Сх,
Ф2) Ts, tf(x)->-f(x) при s-*-t равномерно на каждом шаре.
Пусть uf(s, х, t) =TS, tf{x). Тогда при «<s<r процесс
Uf(s, |u(s), /) является мартингалом. Можно выбрать модифи-
кацию этого мартингала так, чтобы он не имел разрывов вто-
рого рода и был непрерывным справа. Используя то обстоя-
тельство, что можно выбрать такой счетный набор непрерыв-
ных функций fn(x) (например г(хп,х), где {хп} — плотная в
X последовательность), которые разделяют точки из X, можно
убедиться, что и для gu(s) существует модификация без раз-
рывов второго рода, непрерывная справа.

§ 2. Чисто разрывные процессы

Будем предполагать, что фазовое пространство процесса
(X, 93) таково, что 93 содержит все одноточечные множества
{х}, х£93.

2.1. Определение. Марковский процесс называется равно-
мерно чисто разрывным, если каково бы то ни было Т>0, рав-
номерно по х£Х, t^zT и А£93 существует предел

Ilm4-X, t + h, A)-IA(x)) = q(t, х, А). (14)

Как равномерный предел счетно аддитивных функций (по А)
ограниченной вариации, q(t, х, А) будет такой же функцией,
при этом q(t, X, {х}) и q(t, х, Х\{х}) будут ограничены.
Из (14) вытекает, что q(t, х, X) =0. Положим

k(t, х) = —q(t, X, {х}). (15)

Тогда q(t,x,X\{x))=%(t,x) и

я(і, X, А)= м^ х) q(t, X, А\{х}) (16)

будет вероятностной мерой по А. (Она определена при
k(t, х)>0; если k(t,x)=0, будем считать, что л(t, х, А) =1А (х).)
Как уже указывалось, функция k(t,x) ограничена. Если
k(t, х) <С, то

l—P{t, X, t+h, {x})<Ch, P(t, X, t+h, {x})>e-ch,

при достаточно малых h. Так как при £<s<«

P(t,x, и, {x})^P{t, X, s, {x})P{S, X, u, {x})

(это вытекает из уравнения Колмогорова—Чепмена), то для
всех x

p(s, x, t, {x))>e-cv-s\ P(s, x, t, X\{x))<\-e-cv-s\

Рассматривая X как дискретное метрическое пространство, мо-
жем убедиться, что процесс имеет модификацию без разрывов
второго рода, непрерывную справа.

Теорема 1. Пусть марковский процесс чисто разрывный
и \s(t) не имеет разрывов второго рода и непрерывно справа.
Обозначим через т момент первого выхода процесса из началь-
ного состояния. Тогда

' X(v,x)du

Ps,x{t<t,ls(x)eA}^)k(u, х)е s я (я, x,Ä)du. (17)
Доказательство. Учитывая, что

(хотя X не обязательно линейно, мы определяем 0-л: = 0,
0+* = * для х£Х), получаем

Точно так с вероятностью Р^,х=1

к

2"

Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed