Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Для регулярности процесса достаточно, чтобы для всякого
е>0 и Г>0 можно было бы указать такое ô>0, что при s<7\
0'</—s<ô было бы 1—p(s, x, t, y)<è для всех х&Х. Операторы
Ts,t можно задать так. Занумеруем элементы X : хи х2,...,хт.
Тогда пространство Вх определяется векторами (/ь f2,---,fm)>
где fh — значение функции / в точке Хи, а пространство —
векторами (pi,...,pm), где рг — значение меры (знакопере-
менной) в точке Хі. Тогда
Ts.tf (xk)=^p(s, хк, t, Xj)fj,
\iTs,t ({.*,■}) = 2 H- (•**) P (s- xk, t, Xj).
k
Таким образом, если задать матрицу Iis, t с элементами
p(s, xk, t, Xj) (k— номер строки, / — номер столбца), то Ts, t
действует на функции как матрица Hs,t на столбцы, а на меры,
как эта матрица на строки.
Процесс будет число разрывным, если равномерно по t^T,
каково бы ни было Т>0, существуют пределы
lim \-p(t, x, t + h, y) = a(t, x, y), x^y.
Обозначим a(t, x, x}*== —2 a(t> x> У)- Тогда первая и вторая
) УФХ
системы Колмогорова имеют вид
-~p(s, x, t, у) = 2 а(5- z)p(s, z, t, у), (24)
~ p(s, x, t, t/) = 2 p(s, x, t, z)a(t, z, y). (25)
z£X
Уравнение (24) сводится к следующей Системе интегральных
уравнений
p(s, x, t,y)^I{y}{x)exp Ij а(«, x, x) dJj -f
+ 2 jexP j a("' x' x) du\ a(v, x, z)p(v, z, t, y) dv. (26)
zgX s [v J
б) Однородные процессы. Однородный процесс
с вероятностью перехода p(t,x, А) называется чисто разрыв-
ным, если
А) для всякого х&Х равномерно по существует
предел
lim ~P(h, х, A) = q(x, А),
где q(x, А) — мера по А;
Б) функция
%(х) = q(x,X\{x})
является ограниченной.
(Эти условия по форме более слабые, чем те, которые приведе-
ны в п. 2.1, однако они эквивалентны им в однородном слу-
чае.) Опять из соотношения Р(h, х, {x})^e~hC для достаточно
малых h вытекает, что
P{t, х, {x))^e~ic
для всех t; С не зависит от х. Из этого неравенства вытекает,
что аддитивные функции множества
~{P(h, х, А)-1А{х))
имеют вариацию, удовлетворяющую соотношению
-|- О - Р (К х, {х})) < \ (1 - е-»с) < 2С.
Это позволяет точно так, как в теореме 2, получить первое и
второе уравнения Колмогорова
~ Р (t, х, А) = -1 (х) Р (t, х, A) -f- jj «? (х, dy) Р (t, х, А), (27)
~P(t, х, Л)=-$Р(Л х, dy)k(y)+^P(t, х, dy)q(y, A).(28)
A
Из уравнения (27) получаем такой аналог уравнения (21):
t
P(t, х, А) = е-'*хЧа(х) + j jVe-W-opfs, у, A)q(x, dy). (29)
о
Из последнего соотношения вытекает, что при х(<А
t
P(t, х, Л) = j" *-('-*)«*) j q(x, dy)e-sX^dsA-0(t2)^
0 A
= tq(x, A)+0(P);
P(t, x, {x}) = e-'Kx)4-0(t2).
11—2550 5 161
Из этих соотношений находим, что предел
~(Р(А, х, Л)-/л(л)) = А)-К(х)1А(х)
существует равномерно по х и А.
в) Счетные однородные процессы. В этом
случае Х=(1, 2,...), 93— о-алгебра всех подмножеств X, ве-
роятность перехода определяется набором функций р«(0 =
= Р(/, г, {/}). Уравнения Чепмена—Колмогорова имеют вид
Процесс будет чисто разрывным, если выполнены условия
а) существуют при 1ф] пределы
аи-=Пт ±-Р11{Н)\
я+0 "
(5) существуют для всех I пределы
— ап = \\т\{\-рнф))\
я-+0 "
Ч) зир(—аа)<оо и 2а<*==^. Уравнения Колмогорова имеют
вид (это первая и вторая системы)
^^=2*"/мо, |^о(о=2л*(о^. (зо)
Пусть Р; — оператор в пространстве ограниченных последо-
вательностей х={хп} в Р, действующий по формуле
(Ргл:)й=.2р« (/)*;.
Из первого из уравнений (30) вытекает
) "(Р^ЛРЬ (31)
где А — ограниченный оператор, определяемый равенством
(Ах) к = ^й-кгХг.
Из равенства (31) и условия Р0 = / получаем
/>, = ехр{М}=./ + 2^Л». (32)
я=1
§ 3. Диффузионные процессы
Рассмотрим марковские процессы с фазовым пространством
РА 93 — о-алгебра борелевских множеств в РА Относительно
вероятности перехода будем предполагать выполненным сле-
дующее условие: для всех Т>0 и е>0
lim sup sup sup P (s, x, t, Ve (л)) = 0, (33)
б-О /<Г x£X0<t-s<6 0
где Ve (x) = {у: I x — у j > e}. Как вытекает из § 1, при этом
условии существует непрерывная модификация марковского
процесса. Непрерывный марковский процесс может служить
моделью движения частицы под влиянием соударения с хаоти-
чески двигающимися молекулами среды, т. е. явления диффу-
зии — распространения чужеродных частиц в данной среде.
Этим объясняется название рассматриваемого класса марков-
ских процессов.
