Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
МТ5<Жехр|5^}. □
2.2. Решение внутренней краевой задачи. Рассмотрим сна-
чала решение задачи Дирихле для уравнения
Ьи(х)=0, х^в, и(х)=хр(х) при х£С. (23)
Так как и((, х) — и(х) является в то же время решением такой
задачи
— Ьи(х) = 0, иу,х) = (рх), при х^О' и(Т,х) = и(х)
в области [О, Т] X О, то на основании теоремы 3 § 1
и(х) = Мху{1 (го)) I {Хо<Т} + тхи {I (Т)) /{т0>г}.
Переходя к пределу в этом равенстве при Т-э-со, получаем
и(х) =Мхф(£(те)).
Аналогичный подход возможен и при решении более сложной
краевой задачи, связанной с оператором Ь.
Теорема 2. Пусть У(л:)^0 и /(х) — ограниченные не-
прерывные функции, а и(х) является решением уравнения
Ьи{х) + У(х)и(х)=!(х) (24)
с граничным условием
и(х)=ц>(х) при Х&С.
Тогда
(хо
и(х) = М.
Ф(£(т0))ехр | V (1(3)) (18 -
-| /(1(8))^хр\^У(1(и))с1и\(18 . (25)
о 1о ;
Доказательство. При доказательстве теоремы 3 (см.
также замечание 1 к этой теореме) установлено, что процесс
£(*) = « (I (0) ехр 11 V (I (и)) - I / (I (8)) ехр | { V (I (и)) Й?И | й8
является мартингалом. Поэтому для всех Ь > 0
Мх£ (*Лт0) = АМ£ (0))^и(л:),
^лт0
и(л:) = Мл/г(^Лт0))ехр | 1/(|(5))с?5
I о
-Мх | /(Е(5))ехр ^(5(и))Л (26)
о 1о ;
Формула (25) получается из (26) с помощью предельного пе-
рехода при £-»-оо.
Возможность предельного перехода под знаком Мж в правой
части (26) вытекает из того, что в силу неравенства У^О
и, значит, при Ь < т0
и{1 (О)ехр ([1/(1 (я))я*я
(5))ехр НК(£(и)) йи\й8
<С\-\-С?Хо,
где с?! == вир и (х), С2 = эир / (х), а Млт0 < оо в силу теоремы 1. □
х^а х^о
а) Уравнение со знакопеременным V. Если
функция У(х) в уравнении (24) меняет знак (возможно, прос-
то положительна), формула (25) может не выполняться. На-
пример, может существовать ненулевое решение уравнения
(24) с / = 0 и ср = 0, а правая часть (25) при этом будет равна
нулю. Это связано с тем, что предельный переход в равенстве
(26) неоправдан. Для его оправдания нам потребуются усло-
вия конечности М^е^0 при Х>0.
Лемма 2. Если 5ирМ^.т0<^, то при Я<(е<7)~: будет
т° < 00 .
Доказательство. При с><? будет для всех х^.0
Заметим, что
Рх{*0 > ПС) = Мх1 {х0>пс} == Шх1 {То>(я-1 )с)Шх {1{ха>пс) | )с) =
=м,/{То>(„_!)с}Ме(м)с,/{1о>с)<|р,{т0>(й-1 сХ(тГ
Поэтому \
/оо оо
ШвХха4^е>-псР{ха>(п— 1)с} = е^2 -)"
л=1 я=0 с '
1 с
и при Я< — 1п — ряд справа сходится. Максимальное значение
с ^
правая часть принимает при с = де. □
Лемма 3. Пусть при некотором А,>0 существует строго
положительное решение уравнения
1и(х) + 'ки.(х) = 0, хеО,
т1и(х)==с>0.
х^а
Тогда м^ят° < оо.
176
Доказательство. Можно применить формулу (26) с
У=Х, / = 0. Получим
и(х) =Мхи(1(/Лте))ехр{Я,/Лтс}.
Поэтому
Мхехр{Я^Л те} ^ с~1 и (х).
Переходя к пределу при г->-оо, получим доказательство лем-
мы. □
Теорема 3. Пусть Мхе1Ха < со при некотором Х>0.
Тогда при 1/(л)<Я решение уравнения (24) с граничным
условием и(х) =ц>(х), х&С представимо по формуле (25).
Доказательство. При сделанном предположении для
ехр || V (I (<?)) сГ«|<е**,
5 ехр\їуш)аи)а*<^ІАу-1.
Поэтому
«(1(^Лт0))ехр | 1/(|(и))сЦ-
<сх + с2еА
- ] /(1(8)) ехр ] V (£(«))
о I о
где С1 и с2 — некоторые постоянные. Поэтому в (26) возможен
предельный переход под знаком Мх. □
§ 3. Винеровская мера и решение уравнений
с оператором Лапласа
3.1. Винеровский процесс в #А Винеровский процесс в На —
это однородный процесс йу(0 с независимыми приращениями,
для которого величина ау(^-)-п)—т(1) имеет нормальное рас-
пределение со средним 0 и корреляционным оператором М
(I — единичный оператор в На), т. е. распределение с плот-
ностью
£й (х) = (2лА)-*/2 ехр { - ± | х |2}. (27)
а) Марковский процесс, связанный с вине-
ровский. Поскольку винеровский процесс имеет независи-
мые приращения, то при 0^^<; . .. <Цп^<И-\-1г
Р{да(* + А)бЛ/«>(*,), ...,«>(*„), «»(/)} =
= Р{10у + п)-™у)еА-<шу)/т1!)(^), ...,«>(*„), «»(0} =
12—2550
177
= Р {да (£ + а) — да (*)еЛ — да (О/да (0}==
= Р (да (А) — да (0)6 Л - л} (/),
