Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 77

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 110 >> Следующая

2.3. Фильтрация цепи Маркова......... 265

Историко-библиографический комментарий....... 269

Литература................ 269

Прикладные разделы теории вероятностей можно охарак-
теризовать как науку о деятельности в условиях неопределен-
ности. Строя модели для решения возникающих здесь задач
в рамках теории вероятностей, мы сталкивается с неопреде-
ленностью двух родов: 1) неопределенностью, вызванной слу-
чайными факторами; 2) неопределенностью, связанной с тем,
что неизвестны вероятностные характеристики введенных при
описании модели вероятностных экспериментов. Для того что-
бы в принципе было возможно на практике использовать ве-
роятностные модели, нужно уметь исследовать неопределен-
ность второго типа, т. е. на основании опытных данных уметь
находить неизвестную вероятность. Как это сделать, учит ма-
тематическая статистика, поэтому именно она лежит в основе
всех приложений теории вероятностей.

Если у нас уже есть определенная вероятностная модель
(т. е. все вероятности известны), то дальнейшее ее изучение
проводится чисто математическими методами, развитыми в
теории вероятностей.

Мы рассматриваем здесь три наиболее характерных на-
правления прикладной теории вероятностей: управляемые
случайные процессы, передача информации, фильтрация. Их
объединяет то, что в качестве основного объекта выступает
некоторый^класс случайных процессов, задача состоит в вы-
боре некоторого оптимального процесса.

Естественно, что в небольшой статье нельзя охватить все
аспекты приложений теории, наша цель — показать, что та-
кие приложения возможны, и проиллюстрировать их харак-
тер.

Глава 1

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Математическая статистика — самостоятельная наука, со-
держание которой — математическая обработка статистиче-
ских данных. Рассматриваемая в широком смысле математи-

ческая статистика выходит за рамки математики и включает
в себя теорию вероятностей как свое математическое (теоре-
тическое) обоснование. В узком смысле математическая ста-
тистика — часть теории вероятностей, ее задачей является оп-
ределение вероятностных характеристик по экспериментальным
данным. Мы рассмотрим некоторые простейшие задачи такого
рода, чтобы проиллюстрировать, как теория вероятностей «ра-
ботает» на практике.

§ 1. Обработка эмпирической информации

Эмпирическая информация — это результат последователь-
ности наблюдений. Эти наблюдения могут заключаться в фик-
сации наличия или отсутствия некоторого признака (например,
пол новорожденного) или в измерении одного или нескольких
параметров (например, вес зерна, сахаристость плода и т. п.).
Мы будем рассматривать эту последовательность как резуль-
таты независимых вероятностных экспериментов. Статистиче-
ские задачи возникают, если нам неизвестны вероятностные
характеристики эксперимента.

1.1. Частота и вероятность, а) Что нужно знать для опре-
деления неизвестной вероятности? Пусть эмпирическая ин-
формация устанавливает появление или непоявление некоторо-
го события А в последовательности п экспериментов. Такая
информация может быть представлена строкой из нулей или
единиц, единицей отмечается наличие события А, нулем — от-
сутствие. Вероятность события А неизвестна. Что можно ска-
зать об этой вероятности на основании имеющейся информа-
ции?

Пусть Р(А)=р, Р(Л)=1—р = д (А —событие, противо-
положное к А). Если событие А произошло т раз, то произошло
одно из событий

В11.....1т, 1<Ч<»2< ... <1т<Л,

заключающихся в том, что А произошло в экспериментах с но-
мерами гь г2, • • •> 1т и не произошло в остальных экспериментах,

Р{В11,...,1т) = рт<Г»
Значит, обозначая Вт= [] В г, будем иметь

1г<...<1т

Р{Ви.....,д^)=1/с-=^=^. (1)

Эта вероятность уже не зависит от р. Таким образом, если мы
знаем число появлений события А в п экспериментах, то до-
полнительная информация, сообщающая в каких именно экс-
периментах произошло А, ничего не дает для определения р.
Значит, вся возможная информация о неизвестной вероятно-

сти р события А содержится в частоте появлений события А.

Измеримая функция наблюдений называется статистикой.
Частота — статистика. Статистика называется достаточной,
если условное распределение наблюдений, при фиксирован-
ном значении статистики, не зависит от распределения наблю-
дений. Частота является достаточной статистикой.

б) Точечное оценивание неизвестной вероят-
ности. Если мы хотим оценить по наблюдениям неизвестную
вероятность, то естественно это делать с помощью некоторой
функции от наблюдений, т. е. статистики. Само собой разумеется,
что такая функция не может зависеть от неизвестной вероятнос-
ти р. Такая статистика, которой оценивают неизвестный вероят-
ностный параметр (в данном случае вероятность события А),
называется оценкой. Для определения качества оценки нам
понадобятся некоторые понятия. Пусть р*—оценка вероятности

Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed