Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
= еХрК (а(Х+™(8)), с110(8))-\-
1о
+ § [я (л + да - 4-1 а + да (5))|2 ] а?я) [/ (л + да (* + Л)) X
о I
Хехр $ (а (* + №(«)), д?гю («)) (1+ £[*>(*+да (*)) —
- 41 а (*+ да (5))|2] + о (/г))- / (* + да (*))].
Поэтому для доказательства достаточно показать, что
М(/(;е + да(г! + /г))ехр ^ (а(л: + гю(я)), */«>(«)) —
- / (*+да (0) 4- А/ (л + да (0) [в (х+ да (*)) -
^-1 а (х+да (0)|2] -1Иа,Л (х+-ю (0)/^?) = <35>
^ =о(Л).
Имеем '
м^/(л:+да(/ + Л))ехр | § (а (*+«(«)), аГда(5))| —
- / (л+да (*))/*"?) = М (/ (л + да (*+Л)) - / {х + да (*))/£"») 4-
+ МЛ(/(л4-да(/ + А))-/(л+да(0)Х
х(аср| | (а (* + *>(«)), ^-+-
+ m(/(*+w(*))(expJ $ {a(x + w(s)), dw(s))^-\^l 2^) =
= A Sp /" (л+w (t)) + hf'(x+w (t)) a(x+w(t)) +
+ JL f {X + W(t))\a{x+ w{t))\2+o{h).
Мы воспользовались равенством М/ (x+w (h)) = -^ Sp f" (x), a
также леммой 3. Подставив последнее выражение в левую сторо-
ну (35), получим правую. □
3.3. Представление решений уравнения.
а) Задача Коши для параболического урав-
нения.
Теорема 2. Пусть u(t,x)—решение уравнения
da(d'tX) =ТАи^' х) + (а(х), ux{t, x)) + v(x)u(t, x), (36)
и (0, х) = <?(х),
где а(х)—ограниченная непрерывная функция из Rd в Rd и
а'(х) ограничена, v(x)—непрерывная и ограниченная функ-
ция из Rd в R. Тогда
u(t, х) = Му(х-т-1ю(Е))ехр (a(jc-f w(s)), dw{s))-{-
-f J + (s)) —^|а(д: + да(5))|2] ds\.
о )
Доказательство. При всех t>О функция
£,(s) = u(t — s, x + w(s))exp ^{a{x-\-w(ti)), dw(u)) +
о
+ ^[v(x+w (и)) — 1 а (х+и; (и))|2J rfttj
является мартингалом в силу замечания к теореме 1. Так как
5(0) —u(t, х), то утверждение теоремы вытекает из равенства
МБ(0=М£(0). □
Замечание. Формулу (36) можно записать с помощью
интеграла по мере \iw:
и (t, jc)= j ф (х + 1/7 jc (1)) exp W j (а (jc+VT* (s)), dx (s)) -f-
l 0
+ t^[v(x + VTx (s))-11 а (jc + yTjc (s)) |2] a>,. (37)
б) Задача Дирихле для эллиптического
уравнения. Пусть С? — область в Rd с односвязной ограни-
ченной гладкой границей G'. Рассмотрим решение уравнения
j Ли {х) + (а (х), и'х {х)) a- v (х) и (л) = / (х),
и(х) = у(х) при xeG' (38)
Теорема 3. Определим функцию ха(х(-)) на CRd равенством
то(•*('))= sup{t:x(s)eG, s<t}.
Если при некотором к > О
sup Мд-ехр {Я,та} < 00 ,
4sup|a(x)|2+sup v(x) — ^\а(х)\2
to
где X0 = Xa(x-j-w(-)), то при
_1_
2
имеет место представление
и (х) = М ехр U (а(л: + гг»(х)), cto(s)) +
lo
+ J [t»(x+™(s))-i|a(^ + 'ay(s))|2]o'sU(JC + 'ffi>(to)). (39)
Доказательство. Рассмотрим некоторое дважды
непрерывно дифференцируемое финитное продолжение функ-
ции и(х). На основании теоремы 1 процесс
£ (t) = и (х -4- да (0) ехр IJ (а (л + «((s)), ^» (s)) +
+ (x + w (s)) - j I a (x + w (s)) |2 ] rfs j -
— j(•*+^(«))exp j (a(x+w(a)), ato(и)) +
+ | г)(х+щ»(а)) — — \а(х+т!(а))\2^ аГ«|а!5,
где g(л;)=0 при хбС/, является мартингалом. Значит, будет
мартингалом процесс
&(0 = С('Л*о) = и(.х + да(*Л*в))ехр|. | (а(х+ю(5)), аГда^))-}-
+ ? ^ +«(«))-^1«(л:+да(*))|2]^.
о )
Значит,
ы(л;)=М£1(0)=М:1(О.
Используя лемму 3, можно убедиться, что в последнем равен-
стве возможен предельный переход под знаком М при
Замечание. Если функция /(^, х) на Р+ХР* непрерывна,
ограничена и имеет непрерывные ограниченные производные
/р /' /"хх, то утверждение теоремы остается справедливым,
если / (х) заменить на / х), а Ьа^/ на
1а,^/^,х) = ~ а/ (*, х) Ц- (а (х), /х (*, х)) +
+ /ЛЪх)+ъ(х)/Ц,х).
ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ КОММЕНТАРИИ
Строгое построение винеровского процесса с помощью винеровской ме-
ры в С было осуществлено в [10].
Широкий класс марковских процессов был введен в статье [3] (это пе-
ревод немецкой статьи 1931 г.). Здесь были получены уравнения для веро-
ятностей перехода, носящие имя Колмогорова.
В статье [4] развит метод дифференциальных уравнений для доказа-
тельства сходимости марковских случайных блужданий к непрерывным
марковским процессам. В статье [7] рассматривается построение некоторых
классов марковских процессов и их вероятностей перехода исходя из уравне-
ний Колмогорова. В статье [8] был впервые определен стохастический ин-
теграл по винеровскому процессу. В работе [9] было впервые получено
представление решения уравнения теплопроводности с потенциалом в виде
интеграла по винеровской мере.