Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Скороход A.B. -> "Вероятность: основные понятия, структура, методы." -> 75

Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Скороход A.B. Вероятность: основные понятия, структура, методы. — , 1989. — 279 c.
Скачать (прямая ссылка): skorohod.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 110 >> Следующая

= еХрК (а(Х+™(8)), с110(8))-\-

+ § [я (л + да - 4-1 а + да (5))|2 ] а?я) [/ (л + да (* + Л)) X
о I

Хехр $ (а (* + №(«)), д?гю («)) (1+ £[*>(*+да (*)) —

- 41 а (*+ да (5))|2] + о (/г))- / (* + да (*))].
Поэтому для доказательства достаточно показать, что

М(/(;е + да(г! + /г))ехр ^ (а(л: + гю(я)), */«>(«)) —

- / (*+да (0) 4- А/ (л + да (0) [в (х+ да (*)) -

^-1 а (х+да (0)|2] -1Иа,Л (х+-ю (0)/^?) = <35>
^ =о(Л).

Имеем '

м^/(л:+да(/ + Л))ехр | § (а (*+«(«)), аГда(5))| —
- / (л+да (*))/*"?) = М (/ (л + да (*+Л)) - / {х + да (*))/£"») 4-

+ МЛ(/(л4-да(/ + А))-/(л+да(0)Х
х(аср| | (а (* + *>(«)), ^-+-

+ m(/(*+w(*))(expJ $ {a(x + w(s)), dw(s))^-\^l 2^) =

= A Sp /" (л+w (t)) + hf'(x+w (t)) a(x+w(t)) +
+ JL f {X + W(t))\a{x+ w{t))\2+o{h).

Мы воспользовались равенством М/ (x+w (h)) = -^ Sp f" (x), a

также леммой 3. Подставив последнее выражение в левую сторо-
ну (35), получим правую. □

3.3. Представление решений уравнения.

а) Задача Коши для параболического урав-
нения.

Теорема 2. Пусть u(t,x)—решение уравнения
da(d'tX) =ТАи^' х) + (а(х), ux{t, x)) + v(x)u(t, x), (36)
и (0, х) = <?(х),

где а(х)—ограниченная непрерывная функция из Rd в Rd и
а'(х) ограничена, v(x)—непрерывная и ограниченная функ-
ция из Rd в R. Тогда

u(t, х) = Му(х-т-1ю(Е))ехр (a(jc-f w(s)), dw{s))-{-

-f J + (s)) —^|а(д: + да(5))|2] ds\.
о )

Доказательство. При всех t>О функция

£,(s) = u(t — s, x + w(s))exp ^{a{x-\-w(ti)), dw(u)) +

о

+ ^[v(x+w (и)) — 1 а (х+и; (и))|2J rfttj

является мартингалом в силу замечания к теореме 1. Так как
5(0) —u(t, х), то утверждение теоремы вытекает из равенства
МБ(0=М£(0). □

Замечание. Формулу (36) можно записать с помощью
интеграла по мере \iw:

и (t, jc)= j ф (х + 1/7 jc (1)) exp W j (а (jc+VT* (s)), dx (s)) -f-

l 0

+ t^[v(x + VTx (s))-11 а (jc + yTjc (s)) |2] a>,. (37)

б) Задача Дирихле для эллиптического
уравнения. Пусть С? — область в Rd с односвязной ограни-
ченной гладкой границей G'. Рассмотрим решение уравнения

j Ли {х) + (а (х), и'х {х)) a- v (х) и (л) = / (х),

и(х) = у(х) при xeG' (38)

Теорема 3. Определим функцию ха(х(-)) на CRd равенством

то(•*('))= sup{t:x(s)eG, s<t}.
Если при некотором к > О

sup Мд-ехр {Я,та} < 00 ,

4sup|a(x)|2+sup v(x) — ^\а(х)\2

to

где X0 = Xa(x-j-w(-)), то при

_1_
2

имеет место представление

и (х) = М ехр U (а(л: + гг»(х)), cto(s)) +
lo

+ J [t»(x+™(s))-i|a(^ + 'ay(s))|2]o'sU(JC + 'ffi>(to)). (39)

Доказательство. Рассмотрим некоторое дважды
непрерывно дифференцируемое финитное продолжение функ-
ции и(х). На основании теоремы 1 процесс

£ (t) = и (х -4- да (0) ехр IJ (а (л + «((s)), ^» (s)) +

+ (x + w (s)) - j I a (x + w (s)) |2 ] rfs j -
— j(•*+^(«))exp j (a(x+w(a)), ato(и)) +

+ | г)(х+щ»(а)) — — \а(х+т!(а))\2^ аГ«|а!5,

где g(л;)=0 при хбС/, является мартингалом. Значит, будет
мартингалом процесс

&(0 = С('Л*о) = и(.х + да(*Л*в))ехр|. | (а(х+ю(5)), аГда^))-}-

+ ? ^ +«(«))-^1«(л:+да(*))|2]^.

о )

Значит,

ы(л;)=М£1(0)=М:1(О.

Используя лемму 3, можно убедиться, что в последнем равен-
стве возможен предельный переход под знаком М при

Замечание. Если функция /(^, х) на Р+ХР* непрерывна,
ограничена и имеет непрерывные ограниченные производные
/р /' /"хх, то утверждение теоремы остается справедливым,

если / (х) заменить на / х), а Ьа^/ на

1а,^/^,х) = ~ а/ (*, х) Ц- (а (х), /х (*, х)) +

+ /ЛЪх)+ъ(х)/Ц,х).

ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ КОММЕНТАРИИ

Строгое построение винеровского процесса с помощью винеровской ме-
ры в С было осуществлено в [10].

Широкий класс марковских процессов был введен в статье [3] (это пе-
ревод немецкой статьи 1931 г.). Здесь были получены уравнения для веро-
ятностей перехода, носящие имя Колмогорова.

В статье [4] развит метод дифференциальных уравнений для доказа-
тельства сходимости марковских случайных блужданий к непрерывным
марковским процессам. В статье [7] рассматривается построение некоторых
классов марковских процессов и их вероятностей перехода исходя из уравне-
ний Колмогорова. В статье [8] был впервые определен стохастический ин-
теграл по винеровскому процессу. В работе [9] было впервые получено
представление решения уравнения теплопроводности с потенциалом в виде
интеграла по винеровской мере.

Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed