Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Так как каждый двучлен xdi—1 или Xа*—1 имеет своими корнями корни д-й степени из единицы, так как каждый корень урав-
п
нения xpqr" — 1 =0 является также корнем уравнения хп—1 =0, то и числитель и знаменатель дроби (3) представляют собой произведения двучленов вида х — s, где s — различные значения корня я-й степени из единицы. Пусть є — какой-нибудь из этих корней п-й степени и притом непервообразный. Он является тогда первообразным для уравнения Xа—1=0, где d есть некоторый делитель числа п. Если d есть делитель п, то некоторые из простых сомножителей числа п входят в состав d в степени меньшей, чем они входят в п. Пусть все такие сомножители суть:
Pv Л.-. Pm- (4)
Среди показателей степеней двучленов, входящих в состав числителя выражения (3), на d делятся: во-первых, само /г, затем по-
казатели вида-, где ph рк числа, ряда (4), таких показателей
PtPk
^ „2 т{т—\) -
будет С т = — ^ —-; далее на а делятся показатели вида —--, где рь рк, p.-, Pi — числа ряда (4), этих показателей С4т
PiPkPjPl
и т. д.
Всего в числителе дроби выражения (3) двучленов с показателями степени, делящимися на d будет:
а=1+Є^ + С;+.... (5)
Так как на ^ — є (где є первообразный корень d-й степени) будут делиться только такие двучлены xdl—1, в которых показатели аг делятся на d, и так как ни один из этих двучленов кратных корней иметь не может, то отсюда можно заключить, что х — є войдет в состав числителя выражения (3) ровно а раз.
Рассуждая подобным же образом, мы убедимся, что в состав знаменателя (3) тот--же множитель х — є войдет ? раз, где
? = C]n-J- Ci + CL+.... (6)
J) При п = ра формула (3) переходит в (2).
36
Но, как известно, в разложении бинома Ньютона сумма биномиальных коэфициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэфициентов, стоящих на нечетных местах1). Поэтому ? = a.
Таким образом, множитель х—є войдет в состав числителя и знаменателя выражения (3) одинаковое число раз и, следовательно, сократится. Так же будет с каждым непервообразным корнем. В составе выражения (3) остаются только двучлены вида х — є, в которых є — первообразные корни /г-й степени. Таких двучленов имеется ср (п); они находятся только в числителе в разложении двучлена хп — 1 и каждый из них войдет один раз. Поэтому определяемое по формуле (3) выражение для Фп(х) и есть многочлен степени ср (/г), имеющий своими корнями первообразные корни /г-й степени, т. е..это и есть полином деления окружности.
Примеры: 1) Найдем Ф30(л:).
30 30 30
/г = 30 = 2.3-5 U1
do.
30, 2-3' 2-5' 3-5 30 30 30 30
2 3 5 2.3-5
ФзоОО
_ (х*°-1) (хъ—1) Q:3— 1) (х1—1) _ (^1H-I)(X-H)
~ С*15—1) О*10—і) (*6—і) (х—1) ~ (*Ч-і) (*Ч-і):
2) Составим таблицу Фп(х) от п = 2 до /г = 12.
Фа(*)=*+1 Ф8(*) = **+1
Фь(х) = х* + х+1 Ф9(х) = х* + х* + \
Ф4 (х) = X2 +1 Ф10(л:) = х* — х* + X2 — X + 1
Ф5 (х) ==**+*8+ Х2+Х+\ Фц (*) = Х10+Х9+ X*+ X4+ X*+ ЛГ5+
Ф6(х) = х2 — х + 1 +х4 + *3 + *2+*+!
Ф7 (х) = х*+Х*+Х*+Х*-\- Ф12 (X) = X* —X2^l
+ х2 + л; + 1
Полиномы Ф2, Ф3, Ф5, Ф7, Фи найдены по формуле (1), Ф4, Ф8, Ф9 „ по формуле (2) и Ф6, Ф10, Ф13 „ по общей формуле (3).
2) Полагая по формуле (X —у)т = хт~С;пхгп-^ у+ C]n хт-*у* — Сгт хт~*у* + С4т хт'*уК.. X — у = 1, получаем
0 = 1 - Cjn + Cl - Cl + Cl - d +...
откуда
1 + с2т +el+... = Cl +с3т +с5т+...
37
2. Весьма важным свойством полиномов деления окружности является их неприводимость в области рациональных чисел (в дальнейшем под неприводимостью мы будем понимать неприводимость в /?).
При доказательстве неприводимости полинома Фп(х) нам понадобятся следующие ниже вспомогательные предложения, принадлежащие Гауссу.
Пусть f(x)— многочлен с целыми коэфициентами и пусть 8 — общий наибольший делитель всех коэфициентов f(x). Тогда:
/(*) = 8.?(х),
где коэфициенты многочлена ср (х) уже не имеют общего делителя; такой многочлен назовем первообразным. Докажем, что произведение двух первообразных многочленов есть тоже первообразный многочлен. Пусть
f(x) = а0хп + U1 х"-1 +...+ Un^1 х + ап
g (X) = b0xm + Ьх х^ +...+ bm^ х + Ьт
— два первообразных многочлена и
F(x)=f(x)-g(x)=c0 C1 ,V«+—!+...+ Cn+^1 л + сп+т
—их произведение. Возьмем любое простое число р. Пусть ак—первый из коэфициентов f(x)y который не делится на ру так что o0, #i> — uk-i — делятся на р (все а( на р делиться не могут, так как f(x) — первообразный многочлен). Точно так же пусть Ьх — первый из коэфициентов g(x)y не делящийся на р. Рассмотрим коэфи-циент с индексом k-\-l функции F(x):
В правой части равенства (7) все слагаемые, кроме первого, делятся на /?, поэтому ск±г не может делиться на р. Следовательно, р не может быть общим делителем всех коэфициентов функции F(X)1 и так как р взято произвольно, то отсюда следует, что F(X) — первообразный многочлен.
Теперь докажем следующую теорему:
если многочлен с целыми коэфициентами приводим^ то его можно разложить на произведение многочленов с целыми коэфициентами.
Пусть
/(х) = Cp(X)-X х), (8)
где у(х) и ф (х) имеют рациональные коэфициенты.
В многочлене ср (х) приведем коэфициенты к общему знаменателю s и затем вынесем за скобки общий наибольший делитель d
