Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 16

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 23 >> Следующая

D(xn-~l)=zR(xn — lfnxn-i) = .¦^/г єл-і/г - D . . .лєя<п-1)=
я (я + і) (я - і)
= +ПпЄ 2 = +пп, (33)
п (п + D (п — і)
так как є 2 = :±:1, как (/г— 1)-я степень произведения всех
корней уравнения хп-~ 1 = 0. Вычислим теперь R(f,g):
ГДе Уи Уъ> • . . Уи корни полинома g (х)\ среди них должен быть равный Не нарушая общности, можем считать, что У\ = ьр.
44
Полагая в выведенной выше формуле Шенемана (6) х = є и замечая, что / (є) = 0, получаем
/(•О = -р-?(0. (33>
Так как 3/1 = єр есть тоже первообразный корень, то е мол{но выразить, как некоторую степень у{.
в = у f.
Подставляя в (33), получаем
/(Ji)=PtW (34)
где ф (-Vi) — некоторая функция с целыми коэфициентами. Функция f(x) —- р <р (л:), имеющая корнем уц должна иметь своими корнями и все остальные корни у^..., у^ неприводимой функции g (х). Поэтому соотношение (34) имеет место для всех корней у?
/(Уд-P^(Уi) (/=1,2.....k)t <35)
а потому
R (Ag) = ± />Ч CVi)- + Сл).. • ФОъ). (36>
Произведение 4 (л)- + (v2)... 4 (у*) есть симметрическая функция с целочисленными коэфициентами от корней полинома g (х), имеющего целые коэфициенты, и потому должно быть целым числом. Соотношение (36), таким образом, показывает, что результант R Lfig) делится на рк. С другой стороны, дискриминант D(xn — 1) должен делиться на R(f,g). Следовательно, как показывает (33), пп должно делиться на р. Но этого быть не может, так как р взаимно просто с л.
Это противоречие и доказывает, что *Р не может быть корнем никакого другого полинома g(x)9 а должно быть корнем функции fix), т. е.
/W = O. (37)
Теперь нетрудно показать, что любой корень полинома Фп(х) является корнем f(x). В самом деле, такой корень всегда имеет вид ва, где и взаимно-просто с п. Пусть
и = р-р'-р"... .
Тогда eP*Pf zz(zP)P'. И так как f(zp) zz 0, а рг простое число, меньше п и взаимно простое с л, то по доказанному f[(sP)pf\ — f(^Ppr) = О.Точно так же покажем, что zPP'P" есть корень, так как еРР'Р" zz (ьРР')Р*\ а р" — простое число меньше п и взаимно простое с п и т. д. Следовательно,
/(*«) = 0.
Итак, показано, что любой корень полинома Фп(х) является корнем его неприводимого сомножителя fix). Поэтому
Фя(ж)=/И-
Этим и доказана неприводимость1) фп(х).
l) А так как, кроме того, все корни уравнения Ф„(х)=:0 являются степенями одного из них, то уравнение деления окружности нормально в области /?. (Нормальным называется неприводимое уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них).
45
3. Как мы уже указывали, решение двучленного уравнения хп — 1=0 можно свести к решению соответствующего уравнения деления окружности Фп(л*) = 0, корни которого являются первообразными корнями двучленного уравнения. И если уравнение деления окружности окажется разрешимым в квадратных радикалах, то то же можно будет сказать и о двучленном уравнении. Наоборот, если уравнение деления окружности в квадратных радикалах не разрешается, то не решается в квадратных радикалах и двучленное уравнение (так как его первообразные корни не будут выражаться в квадратных радикалах).
Но уравнение деления окружности, как только что было установлено, неприводимо. А поэтому к нему можно применить установленный выше (§ 3,3) критерий разрешимости. А именно, мы видели, что для того чтобы неприводимое уравнение было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо чтобы степень была степенью двойки. Но степень уравнения Фл(л;) = 0 равна <р(#). Когда же <р (п) будет степенью двойки?
Пусть п = 2а '/V^'/V2- • -Pkk есть разложение п на простые множители, так что pv /?2,..рк—различные нечетные простые числа.
Тогда как известно (§ 2,3),
Т(л) = 2«-i .pS^p^-K. .pk«k-> (Pl - 1) (р, - 1)... (рк - 1). (38)
Для того чтобы ср (п) было степенью двойки, необходимо, во-первых, чтобы всё множители р*Гх были равны единице, т. е. чтобы
ai = aa = .,. = aA=l
и чтобы, во-вторых, множители pi— 1 были степенями двойки, т. е. чтобы каждое простое число pt имело вид 2m-f-l« Простые числа этого вида называются гауссовыми простыми числами.
Таково необходимое условие разрешимости в квадратных радикалах уравнения деления окружности, а, следовательно, и двучленного уравнения.
Итак, для того чтобы двучленное уравнение хп—1 = 0 было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо, чтобы число п имело следующий вид\
n=2*-p1-pi...pk, (39)
где а — целое положительное число или нуль, a р{ различные гауссовы простые числа, т. е. простые числа вида 2п-}-1.
Установленное нами необходимое условие, оказывается, в чем мы убедимся в дальнейшем, вместе с тем и достаточным.
Из доказанного, в частности, следует, что, например, уравнения Xі — 1=0 и X9—1=0 неразрешимы в квадратных радикалах, так как числа 7 и 9 не удовлетворяют условию (39). Таким обра-
46
зом, оказывается невозможным разделить циркулем и линейкой окружность на 7 и на 9 частей или, что то же, построить правильный семиугольник или девятиугольник 1J.
§ 5. УСЛОВИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.
1. Выше нами было установлено необходимое условие разрешимости двучленного уравнения в квадратных радикалах. Имея в виду доказать и достаточность этого условия, мы первоначально покажем возможность разрешения в квадратных радикалах уравнения хр—1 =0, где р — простое число вида 2m-j-l. Метод Гаусса, помощью которого мы проведем решение в квадратных радикалах указанного двучленного уравнения, требует некоторых дополнительных сведений из теории чисел, а именно — знакомства'со свойствами так называемых „первообразных корней числа ри или иначе — первообразных корней сравнения хр~1 — 1 ЕЕ 0 (mod /?).
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed