Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 9

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 23 >> Следующая

3) Неприводимое уравнение f(x) — 0 не может иметь общих корней с уравнением ср (л;) = О низшей степени 2). Это вытекает из (1), так как в рассматриваемом случае ср(д) не может делиться на f(x).
4) Два различных неприводимых уравнения f(x) = 0 и ср(х) = 0 не могут иметь общих корней.
В самом деле, если бы f(x) и ср (х) имели общий корень, та f(x) должна была бы делиться на ср (х) [или наоборот, ср (х) на f(x)], но это невозможно, так как f{x) неприводима.
2. Нас будет интересовать вопрос о разрешимости алгебраического уравнения /(*) = 0 в радикалах и в частности радикалах квадратных. Решить уравнение в радикалах — это значит, выразить при помощи элементарных алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня) корни данного уравнения через его коэфициенты. Однако эта задача далеко не всегда разрешима (уравнения выше 4-й степени в общем виде не решаются в радикалах). Поэтому при исследовании алгебраического решения уравнений мы становимся на несколько иную, более общую точку зрения: мы рассматриваем решение уравнения как расширение первоначального поля P (к которому принадлежат коэфициенты данного уравнения) путем приобщения к нему новых элементов — корней этого уравнения (или же других величин, через которые корни данного уравнения выражаются рационально).
С этой точки зрения решение, например, квадратного уравнения
г) Речь идет, конечно, о корне, не принадлежащем полю Р, ибо неприводимая в поле P функция не может иметь в нем корней.
2) Отсюда вытекает, что неприводимое уравнение не может иметь кратных корней, так как каждый кратный корень функции f(x) является вместе с тем корнем ее производной /' (*); уравнение же/Ч*) = 0 —низшей степени, чем /(лг) = 0.
25
-j-px -f- ^ = О с рациональными коэфициентами есть расширение *юля рациональных чисел R9 путем приобщения к R одного из корней *i,2=~^+j/~^--д данного уравнения, что равносильно
^построению поля R [ J/^ — Я ] •
Указанная точка зрения на решение алгебраических уравнений »имеет следующее преимущество. Хотя построить новое поле (расширение) в явном виде, подобно тому, как это мы только что сделали для квадратного уравнения, вообще говоря, нельзя (в случае уравнений 5-й и высших степеней), тем не менее оказывается возможным установить свойства, которые должно иметь расширение, и отсюда уже сделать те или иные заключения о характере корней уравнения. К рассмотрению расширений поля мы сейчас и переходим.
Мы будем исходить из поля R рациональных чисел. Пусть а — ^корень неприводимого в R алгебраического уравнения я-й степени:
f(x) = а0хп + U1*""1 +... + ап_,х + ап = о 0)
с рациональными коэфициентами /(а) = 0. Число (элемент) а называется в этом случае алгебраическим1)*, п — есть степень а относительно поля R* Неприводимое уравнение, которому удовлетворяет данный алгебраический элемент, определяется однозначно, так как не может в данном поле существовать двух неприводимых в нем функций, имеющих общий корень.
Построим поле R1—расширение поля R — путем приобщения к нему алгебраического элемента а:
R1 = R [а]. (2)
Элемент а назовем образующим, или примитивным элементом "поля R1.
Поле R1 наряду с рациональными числами содержит также все те числа, которые получаются путем применения рациональных операций к элементам поля R и числу а; таким образом, элементы поля R1 представляют собой всевозможны^ рациональные функции (с рациональными коэфициентами) от а. Общий вид любого элемента Y поля R1 есть следующий:
_с?(а) Т"Т(а)'
*) Число, не являющееся корнем никакого алгебраического уравнения вида (1), называется трансцендентным. Таковыми, как доказывается, являются числа е и тт. Число / есть алгебраическое, так как служит корнем уравнения х2 •f 1 = 0.
26
где ср (л:) и ф (л:) — целые рациональные функции в поле R (т. е. многочлены с рациональными козфициентами). Итак, мы видели, что любой элемент Y алгебраического расширения R1 (расширение поля при помощи алгебраического элемента мы называем алгебраическим расширением) — есть рациональная функция егр примитивного элемента f. Мы докажем следующее свойства* этого расширения.
Если образующий элемент а расширения R [а] — я-й степени (относительно R)y то всякий элемент этого поля представляет собой целую рациональную функцию от а (с рациональными козфициентами) и притом не выше (п—\)-й степени.
Прежде всего заметим, что в равенстве (3) знаменатель 6 (а) ф о. С другой стороны, по условию /(а) = 0. Так как корень а неприводимой функции f(x) не является корнем функции ф(л:), то эти функции взаимно просты. А потому в поле R можно найти два многочлена F(x) и Ч?(х) таких, что
f (X)-F(X) + ф (X) ¦W (х)=1. (4)
Полагая в этом равенстве X = а, найаем, что
ф(а).\Г(а) = 1.
Умножая в (3) числитель и знаменатель на T (а), получим:
Y- W - ф(а).«-(а) - ' (а)* * (К)- g(а)- (5)
Итак, показано, что ^ — целая рациональная функция от а (в поле R). Если бы степень g (х) оказалась выше [п—1)-й, то, деля g(x) на f(x)y мы получили бы:
g(x)=f(x)-q(x) + r(x), (6)
и полагая здесь дг = а, имели бы
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed