Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
<p(r.s) = ?(r)-cp(s). (5)
Чтобы вывести это соотношение, рассмотрим соответствующие двучленные уравнения:
Л™—1=0, Af-I=O, Af-I=O.
Последние два из них, как мы видели, не имеют общих корней (кроме а: = 1).
Пусть а— первообразный корень уравнения хг—1=0, a ?— первообразный корень уравнения Xs—1=0. Покажем, что их произведение a« ? является первообразным для уравнения Af5 —1=0. Прежде всего убеждаемся, что a? есть корень этого уравнения:
(a?)rs = ars - ?rs = (ar)s • (?s)r = 1.
Пусть a? — принадлежит к показателю т\
(a?)m = l.
Отсюда
am = ?~m.
am — есть корень уравнения хг — 1=0, ?"~m — корень уравнения Xs —1=0, и так как эти уравнения не имеют общих корней, кроме единицы, то
am_?-m_le
Так как a — есть первообразный корень уравнения хг — 1 =0, то из am = 1 следует, что m должно быть кратно г, точно так же из равенства ?~m = 1 следует, что m должно делиться на s и так как г и S' взаимно просты, то m должно делиться на их произведение r-s. Поэтому наименьшее значение для m есть r-s. Корень a? принадлежит, таким образом, показателю rs, он есть первообразный корень уравнения xrs — 1 = 0. Так как уравнение хт — 1 = 0 имеет ср (г) первообразных корней, а уравнение Xs — 1 =0 9(5) первообразных корней, и все эти корни между собой различны, то отсюда следует, что все tp (г) • ср (s) произведений вида a ? являются первообразными корнями уравнения xrs—1=0. Покажем, что никаких других первообразных корней это уравнение не имеет.
Пусть Y — первообразный корень уравнения xrs — 1=0. Так как (r,s)=l, то можно подобрать два таких целых числа р и а, что
Г'р-j-s-a= 1
20
(заметим при этом, что р и.а, а также г и а, должны быть тоже взаимно простыми; в противном случае единица должна была бы делиться на их общий делитель, что невозможно). Тогда
*Y т y**p "^" *—— •
fSff есть корень уравнения хт — 1=0, так как (yScT)r = f5вГ = (fsr)5 = 1; покажем, что есть первообразный корень этого уравнения. Пусть 7Se принадлежит показателю пг:
Так как f принадлежит показателю /tf, то 5 а яг должно быть кратно Г5, а следовательно <sm должно быть кратно г; а так как a и г взаимно просты, то m должно делиться на г. Наименьшее значение для m при этом условии m—r; таким образом, fScr есть первообразный корень уравнения —1 = 0. Совершенно аналогично доказывается, что уг?— есть первообразный корень уравнения Xs •—1=0. Итак, всякий первообразный корень уравнения xrs—1 = 0есть произведение первообразных корней уравнений xr— 1 = 0 и Xs— 1 =0.
Так как, с одной стороны, число первообразных корней уравнения У* —1 = 0 равно числу чисел взаимно простых с rs и не превосходящих rs, т. е. равно y(rs) и так как, с другой стороны, все первообразные корни этого уравнения представятся в виде <p(r).cp(s) произведений вида a-? (где а и ? первообразные корни уравнений хг — 1=0 и Xs — 1=0), то отсюда и вытекает, что
<р(г-$) = <р(Ф<р($).
Теорема эта индуктивно распространяется на любое число сомножителей. Пусть теорема верна для п—1 попарно взаимно простых сомножителей:
<Р (Яг • Я ^ Яп-і) = <Р Ш • ? Ob)- ? fon-i)-
Докажем, что в таком случае она имеет место и для я сомножителей. Так как qx •4V-и 4л взаимно просты, то
? (ЯіЯі-Яп-іЯп) — <Р (tfift-ftt-i) • 9 (<7л) откуда, принимая во внимание допущение, получаем:
? (ЯіЯ* - ^n) = T (Яі) • ? (ft)-? (<7л). (6)
Теорема доказана.
Для р простого ср (p)=zp — 1. Найдем функцию Эйлера для того случая, когда п есть степень простого числа: п—р*.
21
В ряду чисел от 1 до /?*:
1,2, З,...,/?-
общие делители с р% имеют числа, кратные р:
V1 2р, Зр9...,р*~г-р
таких чисел имеется ра_1. Остальные же числа взаимно просты с р*. Их будет р* — /?а~4. Таким образом
=jr-i(p-i). (7)
А теперь нетрудно получить выражение для функции ср (я) в общем случае.
Пусть H=P1^ Ръ*»-РкЬ.
Так как все сомножители p*i9 p^y.-ypjfk—числа попарно взаимно простые, то, применяя доказанные выше теоремы, получаем:
<Р (л) = <р (рЛ шр2а* - Pk ь) = <р (рЛ) • V (Лв0- ? (/7A) =
= />!* (Pl - I)- PS*"1 ІР2 - 1)...??""1 (Л - 1)-
Итак, функция Эйлера ср (п), дающая число чисел взаимно простых с п и не превосходящих п или число первообразных корней уравнения хп — 1 =0, выражается следующим образом:
ср (п) =Pl«-i pf*-1..*,?*-^ -I)(P2-1)... (рк - 1). (8)
Например: 1) лг = 12 = 2а-3; <р (12) = 2; (2-1)(3-1) = 4.
2) /1 = 54 = 2-33; ср (54) = 32.(2 — 1) (3 - 1)= 18.
Заметим еще следующее свойство функции <р (л). Если взять все делители числа п (включая само п и единицу):
ltdhd29...,dk,n
и принять <р(1) = 1, то сумма
? (1) + ? W) + ? №) +...+ ? №) + ?(*) = я.
Это следует из ТОГО, что
1) каждый из п корней уравнения хп — 1 =0 является первообразным для одного (и только одного) из уравнений xd — 1 =0 (где d=zl, di9 d2,..., dk9 л);
2) что каждый корень уравнения ха—1 =0 есть также корень уравнения хп — 1 == 0, и что
3) число первообразных корней уравнения xd —1=0 равно ?(^). Так, например, для п = 12 имеет место соотношение:
?(1) + ?(2) + ?(3) + ?(4) + ?(6) + ?(12) = 12
в чем мы убедились непосредственно, разбивая в рассмотренном выше примере уравнения х12 —- 1 = 0 12 его корней на группы по их ,первообразной" принадлежности).
