Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
16
Как узнать, является ли данный корень первообразным и если нет, то к какому показателю он принадлежит (первообразным корнем какой степени он является)?
Ответ дает следующая теорема.
Пусть г—какой-либо первообразный корень уравнения хп— 1=0; тогда, как мы видели, ряд (4) представляет все корни этого уравнения. Теорема утверждает, что корень rk принадлежит к показателю , где d— есть общий наибольший делитель чисел кип. а
Докажем это.
Пусть г* принадлежит показателю т. Это значит, что (r*)m = r*m = l,
причем м должно быть наименьшим числом, при котором это соотношение имеет место.
Так как г—есть первообразный корень аі-й степени, то из соотношения гкщ = 1 следует, что km должно быть кратно Ai:
km — nq.
Если d есть общий наибольший делитель k и Al, то k — k^d и л=а=/гД
где kx и Ai1 взаимно просты. Подставляя значения k и п в написанное соотношение и сокращая на d, получим:
U1In = Ti1 q.
Отсюда следует, что kxm должно делиться на Ai1, и так как k± и Ai1 взаимно просты, то т должно делиться на Ai1. Наименьшее возможное для этого значение т есть AZi = Ai1. Покажем, что (гк)п^ действительно равно единице. В самом деле:
(rh)ni = rkn>- — rkidni = rkin = (rn)fe* = 1.
И так как, по доказанному, Tl1 есть наименьшее значение для т, то г* принадлежит показателю Ai1, но
Al
Al1 = — ,
Таким образом, теорема доказана. Отсюда вытекает такое следствие.
Для того чтобы гк было первообразным корнем п-й степени, необходимо и достаточно, чтобы k было взаимно простым с Al.
Действительно, если (А,/і)=1, то d—\ и гк принадлежит к показателю Al, т. е. является первообразным корнем. Если же
2 А. Г. Школьник 17
(k, п) = аф 1, то <^п и гк принадлежит показателю, меньшему,
чем п, и первообразным корнем уже не является.
Замечание. Доказанная теорема и следствие из нее не зависят от того, какой первообразный корень принят за основание ряда (4); данный корень может принадлежать только к одному какому-нибудь показателю, независимо от того первообразного корня, при помощи которого он выражен. Показать это можно так. Пусть р какой-нибудь другой первообразный корень данного уравнения; тогда
также представляют собой все корни нашего уравнения. Как выразится в этом ряду корень гк?
Так как г есть первообразный корень, г —р5, где s взаимно просто с п. Отсюда
г* = (Р*)* = р**.
По доказанной теореме корень psft должен принадлежать показателю , где (I1= (sk, ri). Но общий наибольший делитель чисел
sk и п и k и п один и тот же, так как s взаимно просто с п. Поэтому U1 = (I. Получаем, следовательно, тот же самый показатель.
В частности, если за первообразный корень принят „первый*
корень п-й степени e1 = eni и все корни
Ґ 2rdk\
расположены, следовательно, в натуральном порядке, то можно сказать, что ?-й по порядку корень &к принадлежит к показателю ~9 где d = {tiy k); ек является первообразным в том
случае, если индекс k взаимно прост с п.
Из сказанного следует, что первообразных корней уравнения хп—1=0 существует столько, сколько есть чисел взаимно простых сп (и не превосходящих п). И в частности, если п — простое, то первообразных корней будет п—1,
Пример. X12—1=0. Из 12 корней этого уравнения
S0=I, S1, s2> s3, s4, s5, s6, s7, S8, s9, sl0, S11 первообразными будут корни, индексы которых взаимно просты с 12:
?1> ?5> ?7» ?П*
18
Делители 12 следующие: 6, 4, 3, 2, 1.
Показателю 6 будут принадлежать (первообразными для уравнения хе —1=0) корни с индексами, имеющими с 12 общий
12
наибольший делитель, определяемый из соотношения-^-= б, т. е.,
имеющими с 12 общий наибольший делитель d = 2; таковы корни
Е2> 5IO'
Далее так же устанавливаем, что показателю 4 принадлежат корни є3 и е9, показателю 3 — корни є4 и ?8 и показателю 2 — корень S6. Корень S0 = 1, общий для всех уравнений хп— 1=0 можно считать первообразным для уравнения X — 1 = 0 и, следовательно, принадлежащим показателю 1.
Геометрически разобранный пример интерпретируется так. В правильном двенадцатиугольнике (см. чертеж 4) вершины:
A19 A5, A79 A11 — собственные для двенадцатиугольника; A29 A10 — принадлежат шестиугольнику; A99 A9 —принадлежат четырехугольнику; АІУ A8 —принадлежат треугольнику;
A6—есть точка деления окружности пополам, и A0 — начальная точка всех рассматриваемых многоугольников.
3. Мы видели, что число первообразных корней /г-й степени равно числу чисел, меньших п и взаимно простых с п. Величина эта, как мы указывали выше (§ 1,4) носит название фушц&и, Эйлера и обозначается символом ср (/г).
Итак, число первообразных корней уравнения хп—1=0 равно <р (п). Мы ставим сейчас своей задачей вывести выражение для этой числовой функции.
Заметим прежде всего следующее: если г и s числа взаимно простые, то уравнения хг — 1 = 0 и Xs —1=0 не имеют общих корней, кроме х=\. В самом деле, пусть а — общий корень этих уравнений, тогда
аг = 1 и а5 = 1.
Так как (г, 5) = 1, то можно подобрать такие целые числа о и а, чтобы
r-p-f 5.3 = 1,
2* 19
а тогда
а = аг"Р+** = (аг)Р • (а5)' = 1,
т. е. а необходимо равно единице.
Возвращаясь к функции 9 (п) мы в первую очередь покажем следующее ее свойство; если г и S взаимно просты, то
