Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Формулы (1) и (3) могут быть записаны в более компактной форме, если прибегнуть к показательной форме комплексного числа
(такую форму для комплексного числа мы получим, использовав известную формулу Эйлера1), связывающую показательную функцию с тригонометрическими: cos ср -f- і sin со = elv).
Тогда
(6)
(7)
J) Выводится из рассмотрения рядов:
Если воспользоваться геометрическим изображением комплексных чисел как точек плоскости, то сразу становится ясной тесная зависимость, существующая ме&ду извлечением корня /г-й степени и, следовательно, решением двучленного уравнения, с одной стороны, и, делением окружности на п частей или построением правильного многоугольника,—с другой.
В самом деле, формулы (2) показывают, что все п корней имеют
п _
одинаковый модуль р = ]/ г и, следовательно, располагаются, на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным р.
Черт. 2. 6; а = 1 = cos 0 + і sin 0;
2k тс
ekzz pi ZZ COS ^jJp+/sin -g
2k tz
2k тс /-
zz Є б (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)
Черт. 1. я = 5; ozr — 1 + /ZZ
/--/ 3 тс . . Зтс\ = )/2 (^COS1-+ *sinTJ
^ = ^T= Vх— і + * =
+ .sin ^ + —JJ (* =z 0, 1, 2, 3, 4)
Из рассмотрения же аргументов видно, что каждый из них отли.
2тт „
чается от следующего на —; это и показывает, что точки, изображающие корни я-й степени, делят окружность на п равных частей, что они располагаются в вершинах правильного /г-угольника (см. черт. 1 и 2).
3. Итак, извлечение корня, или решение двучленного уравнения, эквивалентно геометрической задаче деления окружности, или по-
6
строения правильного многоугольника. Нашей целью является исследование условий, при которых эта задача на построение разрешима помощью циркуля и линейки. Иными словами, нужно установить, в каких случаях корни двучленного уравнения могут быть построены при помощи циркуля и линейки. Но как решается вопрос о возможности построения циркулем и линейкой корней любого уравнения вообще?
Из элементарной геометрии известно, как (с помощью циркуля и линейки) строить сумму или разность данных отрезков а -f- Ь или а — ft, произведение отрезка на целое число т-а, четвертую
пропорциональную —— и среднее геометрическое j/a-ft. Следо-с
вательно (полагая в выражении ^ > ft = 1 и ? = ft, а в выражении }/"а-Ь ft = l) мы видим, что можем построить отрезки:
Отсюда вытекает, что при помощи циркуля и линейки можно построить любую функцию данных величин (отрезков), если для ее получения приходится совершать конечное число раз следую* щие пять операций: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня.
В частности, следовательно, можно построить корни квадратного уравнения ах2-\-Ьх-{-с-=0
так как для получения их из данных величин а, ft, с над ними не приходится производить никаких иных действий, кроме указанных выше пяти операций: уравнение ах2-\-Ьх-\-с = 0 разрешимо в квадратных радикалах.
Предположим, обратно, что некоторая величина (отрезок)—пусть это будет корень какого-либо уравнения—может быть построена помощью циркуля и линейки. Всякое построение циркулем и линейкой разбивается на ряд элементарных построений, которые заключаются в нахождении точек пересечения либо 2 прямых, либо прямой и окружности, либо 2 окружностей. Аналитически, для нахождения координат искомых точек приходится решать систему 2 уравнений; в случае 2 прямых—это два уравнения I степени, в случае прямой и окружности—одно уравнение I степени, и одно уравнение II степени и в случае 2 окружностей—два уравнения Il степени. Во всех случаях системы разрешимы в квадратных радикалах (или даже без
(8)
*1,2 =
ft ±\fb* — 4 ас 2a
7
их помощи). Это очевидно в первом и во втором случаях. В последнем случае приходится решать систему уравнений:
і (x-ay + (y-bf = r> \ іх-аіу + (у-Ьіу = гг.
Открывая скобки и вычитая одно уравнение из другого, мы получим уравнение первой степени:
2{аг — а)х + 2 фг — b)y + (a* + b* — г2 — а\ — ^г + г\) = 0.
Определяем из него X или у, подставляем в одно из исходных уравнений, и дальнейшее сводится к решению квадратного уравнения. Итак, координаты искомых точек будут выражаться помощью квадратных радикалов. Искомая величина (отрезок) найдется как расстояние между этими точками. Но формула аналитической геометрии d = Y(X2 —X1)2 + (у2 —JZ1)2, дающая расстояние между двумя точками по их координатам, не содержит никаких других иррациональностей, кроме квадратного радикала; поэтому не будет их содержать и искомое выражение для данной величины. Таким образом, если некоторая величина может быть построена циркулем и линейкой, то она выражается (через данные величины) в квадратных радикалах. Итак, окончательно, мы можем сделать следующее заключение:
Для того чтобы корна уравнения f(x)= 0 могли быть построены помощью циркуля и линейки необходимо и достаточно чтобы уравнение это разрешалось в квадратных радикалах1).
Мы видим, таким образом, что поставленная нами задача деления окружности или построения правильного многоугольника циркулем и линейкой сводится к вопросу о разрешении двучленного уравнения в квадратных радикалах.
