Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Возможность разрешения двучленного уравнения в квадратных радикалах будет зависеть, как мы увидим, от свойств целого числа п— степени двучленного уравнения. При установлении этой зависимости нам придется опираться как на некоторые свойства целых чисел, так и на некоторые свойства целых рациональных функций (многочленов, или полиномов). Простейшие из них, чтобы к этому в дальнейшем не возвращаться, мы здесь напомним. Причем, так как многочлены (целые рациональные функции) ведут себя во многих отношениях как целые числа, то мы, чтобы проследить эту аналогию, изложим свойства тех и других параллельно. На доказательстве в большинстве случаев останавливаться не будем.
1J Подробнее о разрешимости уравнений в радикалах см. ниже (§ 3).
8
Для двух (целых и положительных) чисел а и Ъ (а^>Ъ) всегда можно найти два числа b (частное) и г (остаток), таких, что:
a = bq+'r (0<r<ft) (,делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток"). Если г = 0 и, следовательно, a = bq, то а делится на b или кратно ft; b является делителем а.
Для двух многочленов f(x) и g (х) всегда можно найти два многочлена q(x) (частное) и г(х) (остаток), таких, что (тождественно):
f(x) = g(x)-q(x) + r(x)9 причем степень г(х) меньше степени g(x).
Если г (х)= О и, следовательно,/ (x) = g(x)-q(x)y rof(x) делится на g(x); g(x) есть делитель функции f(x).
I. Имеют место следующие простые предложения (теоремы о делимости):
1. Если а делится на ft, a ft делится на C9 то и а делится на с,
2. Если а и ft делятся на с, то и их сумма или разность a+ ft разделится на с1).
3. Если а делится на с, то и ab делится на с.
1. Если f(x) делится на g(x)> a g(x) делится на h(x), то и f(x) делится на h(x).
2. Если f(x) и g (х) делятся на h(x), то и их сумма или разность f(x)zbg (х) разделится на h(x).
3. Если f(x) делится на h{x)y то и f(x)g (х) делится на h (х).
II. Общий наибольший делитель
Число Cy являющееся одновременно делителем двух (или более) данных чисел а и ft, есть их общий делитель. Наибольший из этих делителей, который делится на все остальные общие делители чисел а и ft, есть их общий наибольший делитель. В символах:
(a, ft) = d.
Числа, не имеющие общих делителей (кроме единицы, являющейся делителем всякого
Если многочлены f(x) и g (х) делятся на h (х), то h (х) есть их общий делитель. Делитель наивысшей степени (определяемый с точностью до постоянного множителя), который делится на всякий другой общий делитель функций f(x) и g(x) есть их общий наибольший делитель. Обозначаем его так:
(f(x),g(x)) = D(x).
Многочлены, не имеющие общих делителей (кроме постоян-
*) Если же а делится на с, а Ь не делится на с, то и сумма а + Ь не разделится на с (то же относится и к функциям).
числа), называются взаимно простыми. Для них общим наибольшим делителем служит единица:
(а, Ь) = \. Если d = (a9b), то
b = d-bl9
где ах и Ьх — взаимно простые числа.
Нахождение общего наибольшего делителя производится методом последовательного деления с помощью алгорифма ^Эвклида:
а делится на Ь, затем b делится на первый остаток T1,далее первый остаток T1 на второй остаток г2 и т. д. Так как остатки убывают, то неизбежно придем к остатку T7n+1 —- О
a = bq1 + rl \
b = rx д2 + г2
Гт—Ъ — ^m-2 Qm-I ~Г Гт—і I ^m-I Qm ~\~ \
^m-1 —^m'Qm+V J
Последний, неравный нулю остаток гт и есть общий наибольший делитель. Докажем это. В том, что гт есть общий делитель чисел а и b убеждаемся, рассматривая написанные равенства снизу: из последнего следует, что Гт_г делится на гт9 из предпоследнего, что на гт делится гш_2 и т. д. пока не дойдем до b и а. Чтобы убедиться, что гт делится на всякий общий делитель а и b поступим так.
ного, на которое делится всякий многочлен), называются взаимно простыми. За их общий наибольший делитель можно принять единицу
(/(*).*(*))=!.
Если D (х) = (f(x). g (х)9 то
/(X) = D(X)-Z1(X) g(x) = D(x)-gl (х),
причем многочлены fx (х) и g} (X) взаимно просты.
Нахождение общего наибольшего делителя многочленов производится, как и для чисел, с помощью алгорифма Эвклида:
f(x) делится на g(x)9 g(x) делится на первый остаток T1(X)9 затем первый остаток гг(х) на второй остаток г2 (х) и т. д. Так как степени остатков убывают, то некоторый остаток должен стать равным нулю; пусть rm+le(*) = 0.
Тогда
f(x) = g(x)-q1(x) + rl(x) ^ g (х) = T1 (х) - q, (х) + r2 (х) T1 (х) = r2 (х) • qB (х) + гв (х)
rm-B(x)=rm_2(x) qm_x(x) + rm^(x)=rm^ (х) qm (х) +
rm-i(x)=rm(x)Qm+l(x)- )
Последний, неравный тождественно нулю, остаток гт(х) и есть общий наибольший делитель. В том, что гт (х) есть делитель f(x) и g (х) убеждаемся так же, как и для целых чисел, рассматривая равенства снизу вверх.
10
Из предпоследнего равенства:
Гт=Гщ_3 ґт—і' Q т—\ (*)
из предшествующих равенств:
rm—i ~~ Гт—Ъ гт—ї * Q m—i ^m-2 = Гт—І Ґщ—З ' Qт—2
T1 = а — Oq1.
Подставляя последовательно значения rm_u rm__2,г, в (*), выразим гт через а и Ь:
гт = аа + Ь$,
где an? целые (но не обязательно положительные) числа. Это равенство и показывает, что Гт делится на всякий общий делитель а и Ь, Т. ?. что rm — d. Это можно формулировать так: если d есть общий наибольший делитель натуральных чисел а и о, то всегда можно подобрать два целые числа аир, такие что:
