Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
?(<*) = г(а)>
где степень г (л:) не выше (я—1)-й.
Предложение, таким образом, доказано полностью. Всякий элемент поля R [а] может быть, следовательно, представлен в виде целой рациональной ^функции (п—1)-й степени образующего элемента а:
т = O1 а-* + Ь, а-* + ... + Ьп_х а + btV (7)
где bt принадлежат полю R. Этому факту, характеризующему строение расширения R fa], мы дадим несколько иную формулировку.
27
Если некоторое множество элементов Z обладает тем свойством, что в нем можно указать т линейно-независимых (относительно поля P) элементов 1)\
таких, что любой элемент z из Z может быть представлен в виде их линейной однородной функции (с коэфициентами из Р.)
то такое множество элементов называется линейным многообразием порядка т (относительно Я); числа Z1 образуют базис этого линейного многообразия.
Возвращаясь к алгебраическому расширению R [а], мы видим из (7), что элементы
а"""1, ап-2,..., а, а°=1 (8)
играют в нем роль базиса: каждый элемент ^ поля R [а] представляет линейную однородную функцию (с рацион, коэф.) элементов (8). Кроме того, элементы (8)—линейно-независимы в R9 так как в случае существования между ними линейной зависимости
C1«"-! -f С2а"-а + - + Cn-I« + Cn = O
а удовлетворяло бы уравнению (п—1)-й степени, чего быть не может, так как а—есть корень неприводимого в R уравнения /г-й степени.
Таким образом, алгебраическое расширение R1=R[Ql]9 полученное путем приобщения к полю R алгебраического элемента п-й степени, представляет собой относительно R {линейное многообразие п-го порядка2).
г) т элементов Z19 гъ..у zm называются линейно-независимыми (относительно P)9 если (в P) нельзя подобрать т чисел kit из которых не все равны нулю и таких, чтобы выполнялось соотношение It1Z1 -f- k2z2 + ... + knzn zz 0.
В противном случае эти элементы называются линейно-зависимыми.
2) Не следует думать, что примитивный элемент а, помощью которого построено поле /?і = R [а] является в нем исключительным элементом. Можно показать, что такую же роль может играть любой элемент ? из этого поля, если только он степени п относительно поля R1 т. е. если он удовлетворяет неприводимому в R уравнению л-й степени (иначе: если h ?> ?2». •> ?" линейно-зависимы, а 1, ?, ?2, "?"""1 линейно-независимы в R). Построенное путем приобщения элемента ? поле R [?] будет совпадать с R [а]. Поясним это на примере.
Пусть а zz 1/^2 *— корень неприводимого в R уравнения 3-й степени дг3 — 2 = 0. Поле R 2 ] представляет собой линейное многообразие 3-го порядка, базисом которого служат элементы 1, 2 , (j/^ 2 )2, и следовательно, есть совокупность чисел вида:
28
Мы скажем, что степень построенного нами расширения R1 относительно R есть п, и запишем это так:
{R1-M)=K. (9)
Процесс алгебраического расширения поля можно продолжать далее. Рассматриваем в поле R1 = R[Ot], неприводимую в нем целую рациональную функцию g(x) степени, положим, т. Пусть ? есть корень этой функции:
* (Р)=о.
Элемент ? приобщаем к полю R1. Строим, следовательно, новое поле
Rt=R1 IW =ЯК PL
элементы которого будут всевозможные рациональные функции от ? (с коэфициентами из R1). По доказанному выше, расширение R2=R1[P] представляет собой линейное многообразие ffi-ro порядка относительно R1; его линейным базисом являются т чисел:
Г"1, Г"2. Р, і.
Степень расширения /?2 относительно /?х есть, следовательно, т:
{R^R1} = т.
Основная теорема, которую мы хотим доказать, заключается в том, что поле /?2 = R1 [?] = R [а, ?] является линейным многообразием также относительно R9 и что порядок его относительно R равен произведению т-п; нужно доказать, следовательно, что
{R^R} = m-n.
Возьмем произвольный элемент о поля R2. Он выразится, по доказанному выше, в виде целой рациональной функции (т—1)-й степени от образующего элемента ?:
8 = d, Г'1 + d2 Г"2 +... + dm_t • ? + Cl1n (10)
с коэфициентами dh принадлежащими полю R1.
где р9 q и г — рациональные числа. Возьмем в поле /?f 1/7? элемент ? = l +1/^4. Степень этого элемента относительно R равна 3, так как он служит корнем неприводимого в R уравнения (л:—1)3 — 4 = 0. Поле /?[1 + |/4] будет представлять собой совокупность чисел вида:
Л+?1(1 + 1^4) + гг (1 +|Г4)2 = Pl + qi + qi ^4+rt+2rxf4 + 2гг ^2 =
- (Pi + Ь + ri) + 2гг ^2 + (Я1 + 2гх) |Г4 = ^ + tfa + ufo где S9 t и и — рациональные числа. Таким образом,
29
Так как все dt принадлежат R11 то все они представляют собо й целые рациональные функции от а (п — 1)-й степени (или ниже):
di = auan~1 + a2ian-*+... + an_uiz + ani (/=1,2,... ,т) (11),
где все aki принадлежат R.
Подставляя в (10) вместо dt их значения из (11), получаем:
Ь = (аи a"-i + ап а""2 +... + an_w а + ап1) ?-"1 + («ia а""' + + а33 ос""2 +... + ат) Г~2 +... + (аш a""1 + aim а-2 +... + + «„J= «и а"'1 ?m_1 + O21 а""2 P-"1 +... +
+ ат ?m_1 + O12 а""1 Г"2 + - + o„m- (12)
Из (12) мы видим, что любой элемент о поля представляет (относительно R) линейную ^однородную функцию от п-т элементов:
an-,.pm-1,...,?m-1, а71"1 .?m~2,1, (13)
каждый из которых есть, как нетрудно видеть, элемент R2. Остается только доказать, что элементы (13) линейно-независимы. Допустим, что^между ними существует линейная зависимость:
