Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 4

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 23 >> Следующая

а • a -f- b - ? = rf.
В частности, если а и b взаимно просты, то можно подобрать an? так, чтобы
Далее из предпоследнего равенства находим гт (л:):
гт(х) = гт_9 (X) —
— Гщ-г (х) qm^ (л). (*)
Затем, идя снизу вверх, определяем из остальных равенств остатки гт_г (х)9 гт_а (х) и т. д.:
^m-I 0*0 = ^7n-3 0*0
— Г/л-2 W?m-i W Г/л-2 0*0 — -4 0*0
Подставляя последовательно найденные значения гт—1 (л') 'i0*0 в (*j выразим гт(х) через /(л:) и g (х):
Г mi*) =f(x) - <?(*)+?• (X) •
где у(х) и <]>0*0 — некоторые многочлены. Это равенство и показывает, что гт (х) делится на всякий общий делитель функций f (X) Hg (х)у т. е., что
rm(x) = D(x).
Полученное соотношение можно выразить так:
если D (х) есть общий наибольший делитель многочленов /0*0 и 5*0*0» т0 всегда можно найти два многочлена <р (х) и Ъ(х) таких, что
f(x)•?(х) + g(X)-6 (х) =D(x\
В частности, если функции f(x) и g(x) взаимно просты, то можно подобрать ф(х) и u(x) так, чтобы
f(x).4(x) + g(x).y(x)=\.
11
ІІГ. Для взаимно простых чисел (многочленов) имеют место следующие теоремы
1. Если произведение а-Ь делится на су а а взаимно просто с с, то Ъ делится на с.
1. Если произведение многочленов f(x)-g(x) делится на h(x), a f(x) и h(x) взаимно просты, то g(x) делится на h(x).
2. Если а взаимно просто с с и Ь взаимно просто с C9 то и их произведение а-Ь взаимно просто с с.
2. Если f(x) взаимно просто с h (лг) и g (х) взаимно просто с tb(x)y то их произведение f(x)-g(x) взаимно просто с h(x).
3. Если а делится на каждое из двух взаимно простых чисел Ь и с, то оно делится и на их
Произведение Ь'С
3. Если функция f(x) делится на каждый из двух взаимно простых многочленов g(x) и h(x)9 то она делится и на их произведение g (х) -h (х).
Доказательство этих предложений без труда проводится, если
Число, которое делится только на 1 и на самого себя называется простым. Простому числу в теории многочленов соответствует понятие неприводимого, не разлагающегося на множители многочлена. На понятии неприводимости мы остановимся ниже (§ 3,1).
Если р — простое число, то всякое число или делится на р или взаимно просто с р.
Если произведение а-Ь делится на простое число р9 то по крайней мере один из сомножителей делится на р.
Всякое (натуральное) число п может быть единственным образом разложено на произведение простых чисел. Если при этом делитель P1 встречается Ot1 раз, делитель р2 а2 раз и т. д., то разложение числа п на простые множители имеет следующий вид:
В теории чисел вообще и в частности в нашем вопросе важную роль играет число чисел взаимно простых с п и не превышающих п; эта величина носит название числовой функции Эйлера и обозначается символом ср (п). Если р простое число, то, очевидно* Ч(Р) — Р—В общем же случае выражение для функции ср (лг) более сложное; оно может быть получено элементарными методами теории чисел. Мы выведем выражение для ср (п) ниже (§ 2, 3) попутно с рассмотрением свойств двучленных уравнений.
П = Pf1Pf-Pk** -
12
§ 2. ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Решение уравнения хп— а = 0 сводится, как мы видели выше, к извлечению корня я-й степени из числа а. Задача эта была решена нами в предшествующем параграфе (§ 1, 2) с помощью тригонометрических или показательных функций. Это трансцендентное решение является, однако, недостаточным для наших дальнейших целей, ибо нас интересует возможности разрешения двучленного уравнения в квадратных радикалах; Полученное же решение ответа на этот вопрос не дает. Поэтому мы займемся выяснением возможности решения двучленного уравнения алгебраическими средствами.
Как мы видели выше все п корней уравнения хп—а = 0 (а=?0) различны. В том, что это уравнение не имеет кратных корней можно было бы убедиться еще и так. Каждый кратный корень функции является, как известно, корнем ее производной. Производная же р (х) = пхп~1 не имеет других корней, кроме х = 0у не являющегося корнем функций f{x) = хп — а.
Покажем, что решение уравнения хп—а = 0 можно свести к нахождению одного какого-нибудь корня этого уравнения и решению уравнения хп—1~0.
Пусть а — какой-нибудь корень уравнения хп — а = 0, а є—любой корень уравнения хп—1=0, т. е. какой-нибудь корень /г-й степени из единицы. Тогда а-є является также корнем уравнения хп — а = 0. В самом деле:
(а.є)п = а,1.єл = а-1 =а.
Пусть а и ?— два каких-нибудь корня уравнения хп — а = 0. Тогда
Va/ -а"~~ а *
CPY , ?
но соотношение I — I =1 указывает, что — есть корень из единицы: Ха/ a
— — г; н —аг .
Г1 '
Если, следовательно, а есть корень двучленного уравнения хп — a = 0,. то любой другой его корень ? мы получим умножением а на корень /г-й степени из единицы; мы получим, таким образом, все корни уравнения хп — а = 0 умножением одного его корня на все корни /г-й степени из единицы, т. е. на все корни уравнения хп—1=0. Таким образом, решение уравнения хп—а=0
13
сводится к нахождению одного какого-нибудь корня этого уравнения и к решению уравнения хп — 1 =01). Этим последним уравнением мы в дальнейшем и будем заниматься.
2. Обратимся теперь к рассмотрению свойств корней уравнения
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed