Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
C11 а""1 Г'1 + Q1 а""2 Г'1 +... -К*-! ?m-1 + + C13 а-* Г-2 + а""2 ?m~2 +... + Сп2 ?m"2 +... +
+ Cl« + Qm а""2 + ... + Стп = о, (14)
где Clft принадлежит R.
Тогда, собирая все члены, содержащие одинаковую степень t3, и, вынося ее за скобки, имеем:
(C11 а"-*+са1 а"-2 +... + C111) г-1+(Q2 «n_1+Q2 «п_2 + ...+
+ Q2) ?m"2 +... + (C11n а-* + Qm «n_1 + ». + Cmn) = 0. (1 ?)
Ho так как ? есть корень неприводимого в R1 уравнения т-й степени, то этот элемент не может удовлетворять никакому уравнению (т — 1)-й степени. Поэтому все т коэфициентов (15), представляющие собой числа из R11 должны обратиться в нуль:
С1к а""1 + С2к а""3 +... + Спк = о (fc = 1, 2,... т). (16)
А так как элемент а, со своей стороны, есть корень неприводимого в R уравнения п-й степени, то он не может служить корнем никакого уравнения (п—1)-й степени с рациональными коэ-фициентами. Поэтому во всех т равенствах (16) все коэфициенты СІК должны быть равны нулю.
Этим доказана линейная независимость в R т-п элементов (13), которые образуют линейный базис многообразия /?2 относительно R.
30
Следовательно, степень расширения R2 относительно R есть тп,
{R2:R}=mn. (17)
Теорема доказана. Путем повторного применения результаты ее-распространяются на любое число последовательных расширений..
Если, следовательно, мы берем поле рациональных чисел R и к нему последовательно приобщаем алгебраические числа Ot1 а2, ...аЛ., причем:
(X1 — есть корень неприводимой в R функции степени nv
а2 — корень неприводимой в R1-R[Ol1] функции степени n2i
аЛ — корень неприводимой в R^1 = R[OL19 а2,..., ай->1] функции
степени nhy то полученное алгебраическое расширение
является относительно R линейным многообразием Ti1U2... %-го порядка. Иными словами, степень расширения Rh относительно R есть произведение Ti1Ti2,.. п1г:
{Rh:R}=nx.nt...nh. (18)
3. Применим полученные результаты к исследованию вопроса о разрешимости уравнения в радикалах. Так как всякий радикал — ™/а есть корень двучленного уравнения хт— а = 0, то решить уравнение в радикалах это значит, выразить рационально его корни через корни двучленных уравнений.
Пусть дано уравнение п-й степени с рациональными коэфициентами
f(x) = 0. (19)-
Если уравнение (19) разрешимо в радикалах, то это значит, что» решение его сводится к решению цепи двучленных уравнений:
хп* — U1 = O9 хп* — а2 = О,
хп* — % = 0, (20)
хп* — ah = 0,
где CL1—рациональное число, а2—рациональная функция от корней первого уравнения, а3—рациональная функция от корней первого и второго уравнений и т. д.
Если OL19 OL29 OLn корни уравнений (20), то некоторый корень X1 данного уравнения (19) будет, в случае разрешимости этого^
Зі
уравнения в радикалах рациональной в R функцией от корней двучленных уравнений1)
X1 = F(Z1, а2,аЛ).
Построим поле, к которому принадлежали бы все иррациональности GC1-. Для этого будем расширять поле R9 приобщая к етему последовательно Gc1, а2,..., аЛ. Получим
R11 = R[CL19 а2,...,аЛ]. (21)
Какова степень^ этого расширения? Gc1 есть корень уравнения ^1T-O1 = O, но это уравнение может оказаться приводимым в толе R. Пусть K1(X)—та неприводимая в R функция, корнем которой служит av и пусть степень ее kt. Точно так же двучленное уравнение хп* — а3:= 0, составляющее корень ос2 может оказаться приводимым в поле /?i = /?[aj; пусть К2(х) будет неприводимая в R1 функция степени k29 корнем которой служит CL29 и т. д.; пусть, наконец, аЛ будет корнем неприводимой в поле Rj1^1 функции Kj1(X) степени kh.
Ряд функций
/C1W, КЛх), •-Kh(X) (22)
образует разрешающую цепочку функций для уравнения (19).
Согласно доказанной выше теореме степень расширения Rh относительно R равна произведению степеней функций (22), т. е.
{RnIR) = ^k2..... kh. (23)
!) Так, например, если уравнение разрешимо в радикалах, и корень •его Х\ выражается следующим образом:
]/2 + /3-2f4
Xl— і г-—
б+Кб-з}/ з
то этот корень является рациональной функцией от корней следующей .цепи двучленных уравнений:
— 01 = 0, где O1 = 3; «і
х-- а2 = 0, где % = 2 + Ct1; «2
хъ -• = 0, где аг = 4; «3
х± — 04 = 0, где а^ — Ъ — 30L1) «4
*Через корни Ct1, а2, а3> ®4 этих уравнений X1 выразится так:
Х1~ 6 + a4 *
32
Мы будем предполагать далее, что уравнение (19) является неприводимым в поле R.
Пусть X1 есть корень этого уравнения; следовательно, f(xi) — о. Приобщая его к полю /?, мы получим алгебраическое расширение R [хг]9 степень которого есть
{R[X1]IR}= п. (24)
С другой стороны, корень X1 = F(Ol19 а2,...,аЛ), как рациональная функция от Ot1- является элементом поля Rh; к этому же полю принадлежит и всякая рациональная функция от хи т. е. принадлежат все элементы поля R [X1], которое, таким образом, представляет собой часть поля Rh; следовательно Rn есть расширение поля Пусть q есть степень этого расширения1):
Итак, -поле Rh можно рассматривать как полученное из R путем двух последовательных расширений от R до R [X1] — степени п, и от R [X1] до Rh — степени q. По доказанной выше теореме степень расширения Rh относительно R есть произведение этих степеней:
