Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
22
§ 3., О РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ
1. Поставленная нами задача о возможности построения циркулем и линейкой правильных многоугольников равносильна, как мы видели (§ 1,3) вопросу о разрешимости двучленного уравнения в квадратных радикалах. Оставляя на время двучленные уравнения в стороне, мы поставим вопрос в более общей форме — о возможности решения в квадратных радикалах любого алгебраического уравнения. При исследовании этого вопроса и более общего— о разрешимости уравнения в радикалах вообще (не только квадратных) существенную роль играют понятия числового поля и неприводимой функции.
Полем в алгебре называется множество чисел, обладающих тем свойством, что результат рациональной операции (за исключением деления на нуль) над числами (элементами) этого множества есть опять элемент того же множества. Таким образом, действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) над элементами поля, как говорят, не выводят за пределы этого поля. Множество R всех рациональных чисел есть поле. Полем будет также, например, множество всех чисел вида а -}- Ь\^2, где а и Ъ — рациональные числа, так как результат сложения, вычитания, умножения и деления над числами этого вида, есть число того же вида:
(«+ Ь /2") ± (а, 4- Ьуї) = (« ^ «0 + (* =* ЬіУЇ; (а + Ь у 2) • К + К Y 2 ) = (««і + Mb1) + (Ub1 + ajy^
a+b у2 _(g+6l/2"Xai — 6i|/2) _ aa1 — 2bbl , «і+ Ьі[Ґ2 ~(«і + *,)/2")(ві- KY2)~ а\- 2Ь\ ^
Нуль сам по себе образует поле. Всякое иное поле Р, содержит в себе поле R кж часть, так как содержа какой-нибудь элемент a (фО), оно должно содержать и ~ = \у 1-(-1=2 и т. д.
Если наряду с полем P мы рассматриваем новое поле P1, такое, что все элементы P принадлежат полю P1, но которое, кроме них, содержит еще и другие элементы, то поле P1 называется расширением поля Р.
Если к полю P присоединен новый элемент а, то для того чтобы новая область продолжала оставаться полем, необходимо наряду с числом а присоединить и все те числа, которые получаются в результате рациональных действий над элементами P и чис-
23
лом а. При этих обстоятельствах .мы скажем, что новое поле (расширение) P1 получено путем приобщения элемента а к полю Р, что записывается так:
Так, например, если к полю R рациональных чисел приобщить иррациональное число ]/*2, то расширение R [ ]/~2 ] будет состоять из всех чисел вида а-{-Ь\/^2, где а и Ъ рациональные числа.
При изучении свойств целых рациональных функций (многочленов) существенное значение имеет вопрос о той числовой области, к которой принадлежат коэфициенты данных функций. Если коэфици-енты многочлена принадлежат полю Я, то говорят, что многочлен принадлежит полю Р, или дан в поле Р.
Нетрудно видеть, что общий наибольший делитель D(x) многочленов f\x) и g(x\ принадлежащих полю P9 сам тоже принадлежит полю Р, ибо коэфициенты его находятся путем рациональных действий над коэфициентами f(x) и g (X).
Выше (§ 1,4) мы проследили аналогию, существующую между многочленами и целыми числами и тогда же отметили, что понятию простого, не разлагающегося на сомножители числа соответствует понятие неприводимой функции.
Если целая рациональная функция f(x) можеть быть представлена в виде произведения двух каких-либо многочленов g (х) и А(лг):
f(x) = g(*)-k(x)>
из которых ни один не сводится к постоянному, то мы говорим, что f(x) разлагается на множители, или что она приводима; в противном случае функция называется неприводимой. Но при этом понятие приводимости или неприводимости не будет иметь определен* ного содержания, если не указать той числовой области, к которой должны принадлежать коэфициенты функций g(x) и h(x\ Так, функция f{x) = х* — 2 неприводима во множестве рациональных чисел, но разлагается на множители [х* — 2 = (х — \Ґ2)(х + )/~2 )} в поле иррациональных чисел, и даже в поле R [у 2 ].
Если целая рациональная функция f(x) может быть разложена на множители (не сводящиеся к постоянному), коэфициенты которых принадлежат полю Р, то функция называется приводимой в поле Р; в противном случае — неприводимой в поле Р.
Неприводимые (в поле P) функции обладают рядом важных свойств. Пусть f(x) и у(х) целые рациональные функции (многочлены) в поле Р.
1) Если f (х) — неприводима, а <р(лг)— любая функция (в поле P)9 то либо <р(л) делится на f(?f), либо ср (х) и f(x) взаимно просты. 24
Это следует из того, что f(x) и <р(л;) не могут иметь общего наибольшего делителя, отличного от постоянной или от f(x) (так-как: f(x) неприводима).
2) Если уравнение ср(лс) = 0 имеет общий корень с неприводи-мым уравнением /(.Xr) = O1), то все корни уравнения/(д)= 0 удовлетворяют уравнению ср (х) = 0 и ср (х) делится на /(лг).
В самом деле, общий корень функций f(x) и ср (х) является корнем их общего наибольшего делителя, который поэтому наверно» отличен от постоянной, а потому функции fix) и <р(я) не могут быть взаимно простыми, и, следовательно, по (1) ср (х) делите» на f(x); откуда и следует, что все корни уравнения f(x) = 0 удовлетворяют уравнению ср(л;) = 0.
Поэтому, если какой-либо корень а неприводимого уравнения /(jt) = 0 не является корнем уравнения ср(д;) = 0, то функции f(x} и ср (л:) взаимно просты.
