Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
eg2 _|- (?^у2 (?^4 -J- ... + (??2 ) ёр~3 =е^2 + є^4 + ?^6... -f
(Є*2)* + + + = S*3 + S*5 + ... -f Є*Р (=Є*) = Y]1.
Оба периода остались без изменения; изменился только порядок слагаемых. То же будет, если подставить любой другой корень ?#25, принадлежащий Yj0.
Подставим теперь вместо є какой-нибудь корень, входящий в Yj1, например, є?3. Получим:
eg* (^)g2 ^ e e (?^3р-3 = ?^ евГ5 + ^ ^ _^ {г^у + (?.у + - - • + (e«8)^~2 =г*4 + г*3 + ? + е*2 =y)0. Мы видим, что Y]0 перешло в Y]1, a Y]1 — в Y]0. То же произойдет
При ВСЯКОЙ ПОДСТанОВКе ?—>?S2s+\
Заметим, что периоды Y)0 и Y)1 различны по своей величине. Если
ПредПОЛОЖИТЬ, ЧТО Y)0 = Y)1, Т. Є., ЧТО
е ??2 4.... г^-3 = -f 4- ... 4- egP-\
то заменяя в этом равенстве степени g их вычетами и сократив па є, мы получим уравнение (р — 2)-й степени, которому удовлетворяет ?; этого, однако, быть не может, так как є является корнем неприводимого уравнения (12) (р—1)-й степени. Следовательно,
Мы постараемся теперь показать, что периоды Y)0 a Y)1 являются корнями квадратного уравнения с целыми коэфициентами.
Прежде всего замечаем, что
^0 + ? =— Ь О6)
так как сумма 4" 7Ii есть сУмма всех корней полинома (12), у которого коэфициент при хр~г равен единице х) Далее составим произведение T]0-Y]1
T]0 . Y]1 = (в + Є*2 + в*4 + ... + Є^-3) . (Є* + Є*3 + В*5 -f ... + Є^-2).
Умножение будем выполнять следующим образом: все члены первой строки сначала умножим на находящиеся непосредственно под ними члены второй строки, затем на находящиеся на один член правее, на два члена правее и т. д., дополняя недостающие с противоположного конца (пользуясь при этом соотношениями: у є^ = є?р> 6^ = 6^+2 и т. д.).
Получим следующее выражение:
(17)
В каждой из P 2 * горизонтальных сторон находится сумма,
представляющая собой результат подстановки в период Y]0 вместо є р—\
одного из -—— чисел.
еі+г, є1+^3, s1^5,є1+^"2. (18)
Каждое из чисел (18), представляя собой степень є, является корнем полинома (12); исключение могло бы представиться лишь в том случае, если бы некоторые числа обратились в 1. Это могло бы иметь место при условии
!+?«+!=0 (mod/?).
1) Или так: корни (14) это те же корни (13): но є есть корень полинома (12), а потому
?Р-1 ?Р-2 + ... + е _|_ і = о,
или
+ е/'-З-І- ...4- є = —1,
54
Но это сравнение не может иметь места, потому что, как мы видели, сравнение 1 +- gk=Q (mod р) может иметь место лишь при
#=i—-—; но 2r-j-l не может равняться , так как — есть
Z ZZ
число четное. Поэтому ни одно из чисел (18) не равно единицей, следовательно, все они являются корнями полинома (12), а потому входят либо в состав периода Y)0, либо T)1. В первом случае результат подстановки дает Y)0 и, следовательно, соответствующая строка в (17) равна Y)0, во втором случае, она будет равна T)1. Если т0 чисел из ряда (18) принадлежат Y)0, а остальные /7Z1 периоду T)1, то наше произведение T]0-Y)1 примет следующий вид:
Y)0-Y)1 = ^0Y)0+ IW1Y11, (19),
причем /7Z0-J-/7Z1 ^ .Произведение Y)0 на Y)1 представит, таким
Zi
образом, их линейную однородную функцию с целыми коэфициент тами. Мы покажем, более того, что /W0=W1.
Для этого составим то же произведение периодов Y)0 И Y)1, но будем множить Y)1 на Y)0 (умножение будем производить тем же методом, что и выше, но только при получении первой горизонтальной строки вместо чисел є, е^2, ,„?^~2 возьмем равные им є^""1
?^+1,...,?^Р"3).
Чі • % = (в* + ^ + е*5 +... + в^-2).
(в -f- + Є** + ... +- Є^-3) =
== e(i+s*-2>*r + ?(i+^-%3 +.... -f- ?<i+^-2V>-2-|-
+. е<1+*)* +. є(і+^3 4-...+є(і+я)^"24-
Полученное произведение представляет собой результат подстановки тех же чисел (18), но уже в период Y)1. Так как по предположению /7Z0 из чисел (18) принадлежат периоду Y)0, а /7Z1—
Периоду Y)1, ТО
Y)1-Y)0=ZTZ0-Y)1^m1-Y)0. (20)
Сравнивая (19) и (20), находим или
(W0-/7Z1)(Y)0-Y)1) = 0. (21)
И так как Y)0^Tj1, то т0—//Z1 = O, т. е. /7Z0 = //Z1.
55
И так как сумма их mQ~\- т1=г—7)—, то т0 = т1=1———.
Следовательно, Итак,
Отсюда и из (16) следует, что Y)0 и Yj1 служат корнями квадратного уравнения
г» + з_?^! = 0. (23)
Откуда
* =--2-
и, следовательно J),
_-1+У7 ^-^Iz-^P (24)
Чо — 2 > Чі— 2 ^ '
Таким образом, мы не только показали, что Y)0 и Y)1 являются
корнями квадратного уравнения с целыми коэфициентами, но и
вычислили их значения.
?_і
Теперь возьмем —----членные периоды Y)0 и Y)1 и каждый из
них разобьем на два периода с вдвое меньшим числом членов:
т/2 _ ^ _|_ ^ ??10 _^.в_^Р-8
= е** + е*5 + ^ +•••+ **Р~"4 V8 = e«8 + є*7 + з^11 +...-f є^р~2 (25)
Все корни данного уравнения, таким образом, распределены между р—\
четырьмя -—--членными периодами, причем
Vo+ V2 = ^)O и Vi+ Vs = Ir (26)
В каждом из периодов (25) последующий член представляет ?4-ю степень предшествующего. Периоды (25) аналогично ^—z--член-
*) От нас зависит, какой корень уравнения (23) принять за т|0 и какой за T]1. Это связано лишь с выбором первообразного корня є, который был
