Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 15

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 23 >> Следующая

Вопросом о неприводимости полиномов деления окружности занимался ряд математиков, начиная с средины прошлого столетия и вплоть до настоящего времени. Приведенное выше доказательство (для случая п =zp*), использующее свойства первообразных корней, принадлежит Кронекеру. Существуют (для этого же случая) и другие доказательства, из которых наиболее просто доказательство Эйзенштейна, использующее свойства коэфициентов уравнения Фра{х) = 0 и опирающееся на критерий неприводимости Эйзенштейна.
Доказательство неприводимости полинома Фп(х) в общем случае, для любого п, более сложно. Для него предложено было несколько мето-.дов. Мы изложим одно из последних доказательств (идея которого принадлежит И. Шуру) примерно в том виде, как оно дается Н. Г. Чеботаревым (см. монографию Чеботарева „Теория Галуа% М. 1 36, гл. I; там же приведена и литература по этому вопросу).
Для доказательства нам понадобится вспомогательное предложение, известное под названием формулы Шенемапа. Еозьмем многочлен f(x) с целыми коэфициентами:
f{x) = а0хп + аххп^ +...+ On^1X + ап (24)
и возведем его в р-ю степень, где р — простое число.
р-я степень этого многочлена содержит, кроме р-х степеней отдельных членов, только такие члены, коэфициенты которых делятся на р. Действительно, коэфициенты всех членов, не являющихся />-ми степенями будут иметь множители вида1):
*0>WV. V*0+*1+' • -+k"=p)- <25)
И так как все ki при членах, не являющихся р-мк степенями, меньше, чем простое число р, то р сохранится в выражении (25) и, следовательно все указанные коэфициенты разделятся на р.
Соединяя все эти члены вместе и вынося р за скобки, получим:
\f(x)]P = afx»* +ofx(»-W+. . .+вя-і^ + ^ + И(4 (2б)
где ф (•*) — некоторая функция с целыми коэфициентами.
Замечаем далее, что по теореме Ферма ар — а делится на р2) и, следовательно
*<г° = Яо + Р-?о )
"fr*+™1 \ (27)
<*пр = ап +p-qn J
1J Это есть обобщение на многочлен обычной формулы для степени бинома, где коэфициенты
P- 1-2 . . . k ~~ k\(p-k)\
2аР == a (mod/?). Это доказывается нами ниже в § 5, 1.
42
Подставляя значения а0р, ахр . . . из (27) в (26) и вновь соединя я ©месте члены, содержащие ру имеем
[/(X)]P = U0XP^a1XPi»-!)+. . .+ап_іХР + ап + р^(х\
где <р (х) — функция с цетыми коэфициентами. Но первые п + 1 слагаемых в правой части—-это результат подстановки в функцию f(x) вместо х хр. Поэтому окончательно получаем: *
If(X)]P= f(xP) +р-9 (х). (28)
Это и есть формула Шенемана.
Далее нам придется воспользоваться некоторыми свойствами результантов и дискриминантов. Если заданы два приведенных многочлена f(x) и g(х), имеющие корни Ot1, а2, . . . tan и ?lf ?2, . • • соответственно, то результантом их, как известно, будут выражения
п
R (Л g) = g (ч) g (ч). • . g Ы = Y\ S («/). или
т
#(?,/) =/(?l)/(?2). . ./(P«) = fl/(Pft).
/1=1
могущие отличаться только знаками:
R(g,f) = {-l)m+nR(f,g).
Равенство нулю результанта есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы многочлены имели общий корень. Результант есть симметрическая функция от корней каждого из многочленов, а симметрическая функция от корней многочлена, согласно основной теореме теории симметрических функций, рационально выражается через коэфициенты многочлена; в случае же, если эта симметрическая функция имеет целочисленные коэфициенты, то и ее рациональное выражение через коэфициенты многочленов имеет также целые коэфициенты. Если сверх того окажется, что и данный многочлен имеет целые коэфициенты, то результант является целым числом. С этим случаем нам и придется иметь дело.
Дискриминантом называется (взятый с определенным знаком) результант от многочлена и его производной:
п
Dw=R а я = ±г («о/' ы ...г ы= П т
Составим выражение для дискриминанта произведения двух многочленов D (fg) = R(f-g, Г >g+f-gf) = П [/' W g (X) +f(x) g' (X)] =
п т
= \\[f Ы g(*i) +f(°i) g' (<ч)1 • П У <?*> S (h)+f(h) g' (Pa)L t=i &=і
(29)
но
/(«/) = 0 и
g(h) = o.
43
Поэтому
п т
D(f-g) = П ґі**)е («і)-П/<р*)^(р*) =
ї=1 K=I
Tl ж п tn
-Uf П^'^-П П/<р*> = 0мя<*)-я:(/.*)-я<*.л
І=1 K=I f=l «=1
Окончательно имеем:
D(f.g) = ±D(f).D{g).RHfy g). (31)
Эта формула может быть обобщена на случай произведения нескольких многочленов. Так, для произведения трех многочленов/, g, h выводится:
D(f.g.h) = ±D(f).D(g).D{h).R*(f9g).R2{ft h).R4g, h). (32)
Из этого мы сделаем следующее заключение. Пусть некоторый многочлен F(x) с дельши коэфициентами делится на произведение двух других многочленов f(x) и g(x) тогда f(x')=z f(x)-g{x)-^(x); коэфициенты всех функций /, g и ср мы можем считать целыми; в этом случае дискриминанты и результанты являются целыми числами; формула (32) показывает, в частности, что дискриминант функции F(x) разделится нацело на результант /?(/, g) функций f(x) и g(x).
Переходим к доказательству неприводимости Фп(х). Пусть є — какой-нибудь корень полинома Фп(х), т. е. какой-нибудь первообразный корень /г-й степени из единицы. Допустим, что полином Фп(х) приводим. Тогда он разлагается на произведение неприводимых сомножителей, коэфициенты которых мы не нарушая общности, будем считать целыми числами. Пусть f(x) — тот неприводимый сомножитель, который имеет корнем Є, так что /(є) = 0. Возьмем простое число р, меньшее чем п и взаимно-простое с п. Тогда г P является также первообразным корнем л-й степени и, следовательно, корнем полинома Фя(*). Мы покажем, что вр должно быть корнем функции f(x). Если^ы это было не так, то вр лолжно было бы быть корнем какого-нибудь другого неприводимого полинома g(x)t коэфициенты которого можно считать целыми. Многочлен F(X) = = хп — 1, имея с неприводимыми функциями f(x) и g (х) общие корни должен делиться на каждую из них, а так как они взаимно просты [по свойству неприводимых функций — потому что корень ер, будучи корнем g(x), не является, по предположению, корнем /(*)], то он должен делиться и на их произведение. А тогда, согласно вышесказанному, дискриминант D(xn—1) должен разделиться на результант R(ft g). Найдем' сначала D(xn—1), взяв корни многочлена хп — 1 в виде є, є2, . . • є*"*1, єл = 1:
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed