Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 17

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 .. 23 >> Следующая

Если два (целых) числа а и Ъ при делении на целое положительное число т дают одинаковые остатки:
а = тр-\-г b = mq-\-r,
то такие числа называются равноостаточными, или сравнимыми" по модулю т, что записывается в таком виде:
a ЕЕ b (mod т). (1)
Очевидно, что для того чтобы а было сравнимо с b необходимо и достаточно, чтобы разность а — Ь делилась на т.
Числа, дающие при делении на т один и тот же остаток, или, как говорят, вычет, т. е. сравнимые между собой (mod т) мы отнесем к одному и тому же классу. Так как различных вычетов по модулю т всего есть т:0, 1, 2... т—1, то все числа разобьются на т классов сравнений, каждый из которых характеризуется своим вычетом. Совокупность т чисел, из которых каждое принадлежит к разному классу, образует так называемую полную систему вычетов.
Сравнения обладают многими свойствами обыкновенных равенств. Сравнения можно почленно складывать, вычитать, умножать, возво-
1) Следует подчеркнуть, что невозможность построения относится к употребляемым здесь средствам построения — циркулю и линейке. Помощью других средств та же задача может быть решена. Например, правильный семиугольник можеть быть построен помощью двух прямых углов (см. Адлеру „Теория геометрических построений", гл. VIII).
47
дить в целую положительную степень. Доказательство этих предложений не представляет труда. Пусть
a ~b(mod т)
c~d(mod т). (2)
Следовательно, а —• Ь = тр и с — a = mq. Отсюда выводим: (а — b)±(c — d) = т(р±. q)> (a±c)-{b±d) = tn{p±q\ a±c = b±d{mod т). Путем умножения получаем
ас = bd -j- (dp + bq -f- mpq) т, или ac = bd (mod /я).
Это свойство распространяется на любое число сравнений, и отсюда вытекает возможность возвышения обеих частей сравнения в степень. Так как каждое число сравнимо с самим собой, то отсюда следует, что к обеим частям сравнения можно прибавить (или отнять) одно и то же число, что обе части сравнения можно умножить на одно и то же число.
Что же касается деления, то соответствующая теорема формулируется так:
обе части сравнения, имеющие общий делитель q, взаимно-простой с модулем, можно разделить на q.
Покажем это. Пусть a = b (mod пі), a = q-a19 b = q-bt и q и т взаимно просты. Тогда, по условию, qa± = qb± (mod т); т. е. q (at—O1) делится на т, а так как q и т взаимно просты, то U1 — bt должно разделиться на т, т. е.
(Z1 = O1 (mod пі).
Отсюда можно вывести следующую теорему о почленном делении -сравнений: если a = b (modпі) и с =d (mod пі), а делится нас, я Ь делится на d и с (а, следовательно, и d) взаимно просто с т, то сравнения можно почленно разделить одно на другое.
Пусть a = Ca1 и b — dbv Умножая сравнение Ca1 = dbt (mod пі) почленно на сравнение d=c(mod пі), получаем cdat —cdbximod пі). Так как с и d взаимно просты с ту ю и их произведение c-d взаимно просто с т. Сокращая последнее сравнение на c-d, получаем ах = (mod пі), что и требовалось доказать.
Докажем теперь следующее предложение. Пусть р — простое число. Покажем, что при любом а
ар — а = О (mod р). (3)
48
Доказательство проведем методом индукции. Сравнение очевидна верно при а=1. Допустим, что оно имеет место при а = т:
тр — т = О (mod /?)
и покажем, что тогда оно будет справедливо и при а = т+\. В самом деле,
(т + \)Р — (т+\)^тР — т + ?тР~1 +
Так как каждый из биномиальных коэфициентов делится на р (потому что р — простое, а в знаменателях числа, меньшие р) и так как, по предположению, то же можно сказать и о тР — т9 то и все выражение в правой части разделится на р, т. е.
(т + 1)р — (т + 1) = 0 (mod р). Теорема доказана.
Положим теперь, что а не делится на р (взаимно просто с /?), тогда обе части сравнения (3) можно разделить на р. Получаем:
аР"1 — 1 ее 0 (mod/7). (4)
Этим доказана так называемая малая теорема Ферма.
От тождественных сравнений переходим к сравнениям-уравнениям.
Если /(х)— многочлен с целыми коэфициентами:
/(X) = C0X"+ C1Jp-*+ ... +сп_1х + сп
и если а есть корень сравнения
/(X) = O(InOd/,), (5)
т. е. если / (а) = 0 (mod р), то всякое число b = a (mod р) является тоже корнем сравнения (5).
В самом деле, из а ее Ь (modр) вытекает, что
an=bn, an-l=bn-\ ... a = b(moAp). (6)
Умножая сравнения (6) на cQy C1,Cn^1 и почленно складывая, получаем:
c0an=c0bn, C1O,*1"1 EEC1I)"-1, Cn^a = Cn-J)9 cn = cn(modp) W* +C1OTTi+ _ + Сп^а + Cn = + C1V^1+ ... + + Cn^b + Cn (mod/?), т. е. /(a) =/(b) (mod р)
и, следовательно,
/(b) = 0 (mod/?).
4 А. Г. Школьник 49
Два корня, принадлежащие к одному классу сравнений, мы не будем считать существенно отличными и скажем, что сравнение имеет корень
л — a (mod/?).
Рассмотрим двучленное сравнение
х?-1 — 1 ее 0 (mod/?). (7)
По теореме Ферма все числа, взаимно простые с /?, являются корнями этого сравнения. Следовательно, так как р — простое число, это сравнение имеет р—1 существенно различных корней:
X= 1, х = 2,...,х=р— 1 (mod/?). (8)
Других корней, очевидно, быть не может [л; = 0 (mod/?) корнем не является].
Корни двучленного сравнения (7) обладают свойствами, аналогичными свойствам корней двучленного уравнения хр—1=0. Пусть т — какой-либо корень сравнения (7), тогда числа
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed