Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга" -> 14

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Школьник А.Г. Двучленные уравнения и задачи деления круга — УЧПЕДГИЗ, 1940. — 70 c.
Скачать (прямая ссылка): dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 23 >> Следующая

38
числителей коэфициентов; тоже сделаем и с многочленом ty(x). Тогда
«K-K) = I-M*). (9)
где Cp1 (х) и (х) — первообразные многочлены. Подставляя значения ср (л:) и ф(л:) b (8), получаем:
Я*)=77*М*)-М*). (1°)
Покажем, что — есть целое число. Пусть ^-4 =—(я и а — S-1 J s-t q Кґ 4
взаимно простые). Так как многочлен - Cp1 (х) . (х) должен
иметь целые коэфициенты [так как таков многочлен fix)] и так как р и q взаимно простые, то все коэфициенты многочлена ср 10*0' Фі M должны делиться на q. Но Cp1 (х) • (х) как произведение первообразных многочленов, само должно быть первообразным; поэтому q = \. Итак,
Kx)=P-V1(X)-It1(X). (11)
Таким образом f(x) разложена на произведение двух многочленов с целыми коэфициентами—P^1(X) и (х). Теорема доказана.
Отсюда вытекает, что для того чтобы доказать неприводимость многочлена с целыми коэфициентами, достаточно показать, что он не может быть представлен в виде произведения многочленов с целыми коэфициентами.
Далее заметим еще следующее. Пусть многочлен с целыми коэфициентами f{x) имеет коэфициент при старшем члене, равный единице (такой многочлен назовем приведенным). Тогда если
f(x) = g(x)-h(x) (12)
есть разложение f(x) на многочлены с целыми коэфициентами, то очевидно, что старшие коэфициенты функций g(x) и h{x) тоже равны единице. Но верно и обратное предложение: если в разложении (12) приведенного многочлена f(x) с целыми коэфициентами на множители g (х) и h(x) с рациональными коэфициентами старший коэфициент функции g(x) (а следовательно, и функции h(x)) равен единице, то разложение (12) есть разложение на множители с целыми коэфициентами.
39
В самом деле, если бы один из множителей, например g(x), имел бы дробные коэфициенты, то приводя их к общему наименьшему знаменателю р, мы имели бы
г(1ИПкЖМЬ = 1,,м, (13)
где gx(x) = рхт г\- Pi^:7"""1 -f-... + ?m — первообразный многочлен (все P1- — не могут иметь общего делителя с ру так как р — наименьший знаменатель). Точно так же мы поступим с многочленом h(x), если он имеет дробные коэфициенты (если же у h(x)— коэфициенты целые, — то он сам первообразный, так как его старший коэфициент равен единице):
Hx) = ^h1(X), (14)
где hx(x)— первообразный многочлен.
Подставляя значение g(x) и h (х) в (12), получаем:
/(*) = ~gi(x)-ht(x). (15)
Так как f(x) многочлен с целыми коэфициентами, то коэфициенты произведения gi(x) H1(X) должны все делиться на pq; но gx(x) ^h1(X) есть первообразный многочлен, следовательно, pq=l и p = q=\. Этим доказано, что коэфициенты g(x) и h(x) целые.
Отсюда можно сделать еще такой вывод. Определяя h(x) из равенства (12)
A(X)=^r, (16)
мы можем сформулировать следующее предложение: если приведенный многочлен с целыми коэфициентами f(x) делится на другой приведенный многочлен, то частное есть приведенный многочлен с целыми коэфициентами. Отсюда, в частности, вытекает, что полином деления круга Фп(х), определяемый по формуле (3) [§ 4, 1], должен иметь целые коэфициенты.
Переходим к Доказательству неприводимости полиномов деления окружности. Дадим доказательство для п—ра. В этом случае, как мы видели,
Ф (х) = ^•"Vi) + Vd +... + л**"1 + 1.
Допустим, что Ф(х) разлагается на произведение многочленов с целыми коэфициентами:
*(*)=/(¦*)•*(*)• О?)
40
Так как старший коэфициент многочлена Ф(л:) равен единице, то таковыми же должны быть старшие коэфициенты функций f(x) и g (х).
Полагая в равенстве (17) л: = 1 и замечая, что Ф(\)=р получаем:
^=/(1)-^(1). (18)
Так как р— простое, то один из сомножителей /(1) или g*(l) равен it: 1, а другой :цг р. Не нарушая общности положим, что
/(I) = ItI. (19)
Пусть г есть тот корень уравнения Ф(х) = 0, который является корнем f(x), так что /(г) = 0.
Пусть s — любой корень уравнения Ф(х)=0, т. е. любой первообразный корень /?а-й степени из единицы; тогда ряд
е, єа,...,єРа = 1
представляет собой все р* корней уравнения хра —1=0. Из иих:
где а, не делятся на р (и, следовательно, взаимно-просты
с р*) являются первообразными корнями уравнения хр*—1=0. Рассмотрим произведение
/(*)-/(«в)-/<«*)-/(«*). (20)
Нетрудно видеть, что выражение это равно нулю, так как среди чисел є, sa,...,efc, представляющих все корни уравнения Ф (х) = найдется равное г, а /(г) = 0.
Отсюда следует, что функция
F(x)=f(x)-/(Xа)-f(xb)...f(xk) (21)
имеет своим корнем л; = є, где є—любой корень уравнения Ф(х)=0. Таким образом, функция F(x) имеет своими корнями все корни функции Ф(х), а потому F(x) делится на Ф(х):
F (х) = Ф (х)-ч(х), (22)
причем функция ср (х) должна иметь целые коэфициенты, так как старшие коэфициенты функций ^(л:) и Ф(х) равны единице (что старший коэфициент F(x) равен 1, это видно из формулы (21), так как старший коэфициент f(x) равен 1).
Полагая в равенстве (21) х=\ и замечая, имея в виду (19),, что F(I) =/(1)/(1).../(1) = 1, а Ф(1)=р получаем, что
=Ы=р.<р(1). (23)
41
Но произведение двух целых чисел р и ср(1) не может равняться 1. Это противоречие и доказывает неправильность допущения •о том, что Ф (х) разлагается на произведение функций с целыми коэфициентами. А отсюда вытекает неприводимость Ф(х).
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed