Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
/я, т\ //г3,...
являются также корнями этого сравнения. Это следует из того, что обе части сравнения тр~~х = 1 (mod р) можно возвести в любую степень. Среди них есть сравнимые с 1 (mod/?); таким во всяком случае будет тр~1.
Если d наименьший показатель, при котором
md = 1 (mod /?),
то говорят, что число т принадлежит (по модулю /?) к показателю d. Те числа, которые принадлежат к показателю р—1, т. е. те, которые удовлетворяют сравнению (7), но не удовлетворяют никакому двучленному сравнению (mod/?) меньшей степени, назовем первообразными корнями сравнения (7), или просто первообразными корнями числа р.
Докажем следующее основное свойство первообразных корней. Пусть ^ — какой-либо первообразный корень числа р. Тогда ряд чисел
g,gi.....gp~\?p-1[=l (modp)} (9)
представляет собой все корни сравнения (7). В самом деле, каждое из чисел (9) есть корень этого сравнения и все они между собой несравнимы, так как если допустить, что
gk = gl(modp) (?,/</*—1, и пусть ?>/), то, деля обе части на gl (взаимно простое с /?), мы имели бы
gk-l=\(modp)
50
и так как k — 1<^р—1, то g не было бы первообразным корнем.
Таким образом, числа (9) представляют собой все корни (8) уравнения (7), а потому они сравнимы с числами 1. 2.../?—1, взятыми, вообще говоря, в ином порядке, и составляют, следовательно, полную систему вычетов.
Примеры: 1) Для р = 5 одним из первообразных корней будет ?*—2, так как 2 является корнем сравнения —1=0 (mod 5), но не удовлетворяет сравнениям низшей степени л—1=0, х2—1=0, хь— 1= 0 (mod 5). Поэтому ряд чисел: 2, 23, 23, 24 должен представлять все корни сравнения Xі — 1=0 (mod 5). Нетрудно видеть, что эти числа сравнимы (mod 5) с 2, 4, З, 1.
2) Для р =17 за первообразный корень g можно взять 3. Тогда числа ряда
g, з3, g\ g*, g5, g«> g\ g8, g9, gw> gn, g1*, g15, gu, gn, gn=i
будут сравнимы (mod 17) с числами от 1 до 16 (взятыми в следующем порядке):
3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1.
Выведем, наконец, еще одно соотношение. Пусть g — первообразный корень простого числа /?(>>2). Следовательно,
gp~l — 1=0 (mod/?). (10)
Разлагая левую часть на множители, имеем
J""1- 1) (/Ч- 0-0 (modp). р-л
g 2 — 1 не может делиться на /7, так как тогда g принадлежало бы показателю — и не было бы первообразным корнем. Следо-
вательно, на р должно делиться g 2 ~f-1 , а потому
/^+1=0 (mod/7), (11)
или
P-I
g 2 =— 1 (mod р).
Выведенными соотношениями мы впоследствии воспользуемся. При этом заметим, что сравнение gk -\- 1 = 0(mod/7), имеющее
место, как показывает (11), при k =Р * не удовлетворяется ни 4* 51
при каком другом значении k в пределах от 1 до р. В самом
деле, из сравнений gk~—1 (mod/;) и g 2 =—1 (mod/?), деля почленно одно на другое (делить можно, так как все корни сравнения (7), а следовательно, g и его любая степень взаимно
просты с /?), получаем 2=1 (mod/?) — в случае, когда
k^>^ * либо g-~2~_/с = 1 (mod р),— в случае, когда k1.
Но ни первое сравнение при k^p, ни второе сравнение не могут иметь места, так как g — есть первообразный корень числа р.
2. Перейдем теперь к доказательству разрешимости в квадратных радикалах уравнения хр—1=0 в случае, когда р — простое число вида 2m+ 1 .
Когда р — простое число, то, как мы знаем, кроме X=I9 ссе остальныер— 1 корней двучленного уравнения хр— 1=0 являются первообразными и совпадают с корнями полинома
Фр (х) = х^1 + хр~2 -+...+ X + 1 = 0. (12)
Если є один из корней уравнения Фр(х) = 0у то все корни могут быть представлены в виде
г, г\ (13)
Отсюда, между прочим, ясно, что если один из корней выражается в квадратных радикалах, то то же будет иметь место и в отношении всех остальных корней.
Метод Гаусса, которым мы воспользуемся, основывается на своеобразном порядке расположения корней (13). Пусть g—первообразный корень числа р. Тогда, как было выяснено, числа 1, gy g2>—>gp~2 образуют полную систему вычетов по модулю р, т. е. сравнимы с числами 1, 2, 3.../?— 1 (взятыми, вообще говоря, в другом порядке). С другой стороны, если два числа k и I сравнимы (mod р)у то efe = ez; в самом деле, из k = l(mod р) следует, что k = l-\-pt, а потому ek = єг+Р* = е1 (еРУ = ег, так как єр=1. Поэтому числа
е, є*, ^,...,e«"- (14)
представляют собой те же корни (13), но расположенные в ином порядке, именно в таком, что каждый последующий корень представляет собой g-ю степень предшествующего (первый член Є, представляет собой ?*-ю степень последнего: (є#р 2)? = є#р 1 = є).
_ 2
Из р— 1 чисел (14) составим две следующие суммы по —^—
52
у—2--число целое, так как р = 2т -f- 1J слагаемых в каждой—
два P ~ * - членных периода (по терминологии Гаусса)
ra = -J- е*8 ?gs _|_ t>e 4. ?gP-3. (15)
В этих суммах каждый член представляет g*3-io степень от предшествующего.
Докажем следующее свойство этих периодов. Если в них произвести подстановку, взяв вместо є — какой-нибудь корень, входящий в состав Tj0, то от такой подстановки оба периода Y)0 и Tj1 не изменятся; если же вместо є подставить корень, входящий в период Tj1, то Y]0 превратится в Yj1, a Y]1 в Y]0. Убедимся в этом. Подставим в Y]0, а затем в Y]1 вместо є, например, е^3. Тогда
