Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение между архимедовой и неархимедовой плоскостями можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть Oxy — обычная архимедова плоскость с декартовыми осями координат Ox,Oy. Отметим на плоскости все точки с целочисленными координатами (рис. 9.1). Эти точки образуют каркас, который погружен в пространство пар вещественных чисел. Мы можем построить некоторые геометрические образы, составленные из точек с целочисленными координатами. Ясно, что ничто не мешает рассматривать их как образы, принадлежащие и к плоскости Oxy. При этом возникает большой произвол в продолжении построенных образов на точки с нецелочисленными координатами.
Рис. 9.1 можно использовать для представления связи между точками неархимедовой и обычной архимедовой плоскости. Теперь отмеченные точки — это точки архимедовой плоскости, а вся плоскость — это уже неархимедова плоскость. При этом под вещественными числами необходимо понимать ядра вещественных чисел (х * у *), т.е. вещественную решетку.
Аналогия, конечно, грубая, так как целочисленный каркас анизотропный. Он выделяет на плоскости 0 12 3
Oxy избранные направления. Реаль- рис. 9.1.
1
ное же пространство изотропное. Изотропными являются и его арифметические модели. Поэтому в рассмотренной модели целочисленные координаты лучше заменить рациональными координатами. Тогда изотропия восстанавливается и мы имеем следующую цепочку: пространство точек с рациональными координатами образует каркас в архимедовом (вещественном) пространстве; архимедово пространство, в свою очередь, образует каркас в неархимедовом пространстве.
Целочисленная решетка покрывает плоскость подобно сети с ячейками определенного размера. Внутри данных ячеек можно поместить неограниченное число подобных решеток, которые не будут иметь между собой общих точек. Например, можно поместить решетки с координатами (n1 + a; n2 + b), где n1, n2 — целые, а
0 < a, b < 1 — дробные числа.
С другой стороны, вещественная решетка (х * у *) покрывает неархимедову плоскость как сеть с размером ячеек, который можно оценить любым актуальным бесконечно малым числом. В промежутки между узлами сети можно поместить сколько угодно подобных решеток. Например, решетки (x * + a, y * + b), где 0 < a, b < E. Поле ядер вещественных чисел изоморфно полю вещественных чисел. Поэтому все результаты геометрических теорий, построенных над полем вещественных чисел, переносятся без изменений на вещественную решетку неархимедовой плоскости.
Новый момент возникает только в понимании данных результатов. Раньше (на вещественной плоскости Oxy) мы считали, что, например, окружность x + у = 1 представляет собой сплошную кривую (рис. 9.2). Это значит, что нельзя было пройти по
непрерывному пути из центра во внешние точки к окружности без пересечения самой окружности. Если окружность — препятствие на пути, то это быто непреодолимое (непроницаемое) препятствие.
Теперь мы посмотрели на это препятствие с разрешением, которое дает анализ-2. Мы увидели, что каждая точка препятствия представляет собой ядро (х *, у *) и окружающий его ореол (рис. 9.3). На неархимедовой плоскости от вещественных чисел мы оставили только их ядра. Поэтому препятствие стало представлять собой совокупность точек (х * у *), для которыгх
(х *)2 + (у *)2 = 1. (1)
Это уже вполне проницаемое препятствие (рис. 9.4). Из центра во внешние точки можно попасть по многим непрерывным путям, например по лучам Y = (1 + E)X, Y = EwX. Все эти пути не задевают препятствие (1).
Любые геометрические отношения, построенные на вещественном каркасе, можно так или иначе продолжить на микро- и мегауровни неархимедова пространства. Здесь открывается чрезвычайно много возможностей. Некоторые из данных возможностей рассмотрим в подразделах 2-4 данного параграфа.
В заключение рассмотрим вопрос о полном переносе геометрических объектов с вещественной плоскости на неархимедову плоскость OXY. Имеется в виду, что переносятся не только объекты, соответствующие ядрам вещественных чисел, но и ореолы
этих чисел. Обратимся к рис. 9.4 и уравнению (1). Заменим его на следующее:
(stX)2 + (stY)2 = 1. (2)
Здесь stX — стандартная часть числа X: st(3 + E) = 3, st(3 + w) = да, stE = 0 (см. § 7). Объект (2) достаточно интересен. Здесь промежутки между точками каркаса заполнены не линией («мостом» между точками), а целой двумерной областью (см. рис. 9.3).
Представление о ней дает модель, которую можно изобразить на обычной вещественной плоскости. Пусть у = f (x) — некоторая кривая на плоскости Oxy. Поставим ей в соответствие объект, координаты которого удовлетворяют уравнению [у] = f ([x]). Если уравнение у = f (x) не имеет целочисленных решений, то указанного объекта не существует. Но зато любому целочисленному решению отвечает полностью заполненный единичный квадрат, который принадлежит нашему объекту (рис. 9.5, f (x) = x).
«Графиком» «кривой» (2) будет «окружность», изображенная на рис. 9.3 «График» включает в себя не только ядра вещественных чисел, но и их ореолы. На плоскости OXY это будет полоса с размытой, неопределенной внешней границей. Точнее сказать, что ширина данной полосы измеряется в единицах E и является неопределенно большой (равна диаметру вещественного числа). В общем случае любая кривая у = f (x) на плоскости OXY при переносе на неархимедову плоскость выглядит как stY = f (stX). В результате мы получаем геометрию с линиями некоторой толщины. Самое интересное состоит в том, что наличие толщины не вносит в геометрию каких-либо осложнений. Например, если на плоскости вместо прямой мы имеем полосу шириной d, то пересечение двух таких полос под углом a должно дать «точку» площадью d2/sina (рис. 9.6).
