Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
dS k -1 dFk-2(hm,... Sk-2) dS k - 2 dF0(hm,...x)
dx
dF-1(hm,...h1)
_ f (hm,...Sk-1, Sk); _ f (h m,—S k -1,0); _ f (hm,... Sk-2,0,0);...
dh 1 dF-m(h m) dhm
_ f (hm,...x,0,...0);
_ f (hm,...h 1,0,...0),...
_ f (hm, 0,—0).
Замечание 1. Рассмотренные формулы позволяют охватить любое конечное число масштабов. В случае необходимости можно рассмотреть и бесконечное число масштабов. Для этого потребуются либо данные о стыке некоторого масштабного уровня с конечным номером и уровня с бесконечным номером, либо данные о предельном переходе Lim от уровней с конечными номерами к уровню с бесконечным номером.
Замечание 2. Значение интеграла зависит от расстояний до точек горизонта. Этот феномен связан только с разрывностью функций типа 1. Как отмечалось, аналога подобной разрывности на обычной вещественной прямой — нет. Если же функция на стыке различных масштабных уровней непрерывна, то зависимость от расстояния до горизонта исчезает. По-другому можно сказать так: при этом типе непрерывности пересечение точек горизонта происходит незаметноименно поэтому везде имеет место переход к классическим интегралам.
Замечание 3. Выше предполагалось, что при переходе через точки горизонта интеграл приращения не получает. В некоторых случаях это не так, например при вычислении длины кривой с учетом вертикальных отрезков в точках разрыва функции. Подобные интегралы будут рассмотрены ниже.
§ 40. Основные формулы для вычисления определенных интегралов
Выше предполагалось, что расстояния до точек горизонта p, q и
l = p * q являются величинами постоянными. В общем случае необходимо принять, что p, q и, значит, l зависят от соответствующих координат. Например, если функция задана на вещественном и первом мегауровне, т.е. X = h * x, то p, q и l могут зависеть от координаты h. Если же речь идет о вещественном и первом микроуровне X = x * X, то в общем случае
p = p(x), q = q(x), l = p(x) * q(x) = l(x).
1. Интегрирование по частям
Смысл формулы интегрирования по частям хорошо известен. Пусть требуется найти интеграл от функции, заданной на обычной (архимедовой) прямой. Оператор интегрирования является обратным к оператору дифференцирования. Если подынтегральную функцию
удалось представить как производную некоторой функции, то интеграл вычисляется сразу:
b
Чаще всего подобная задача решается «по частям». Предположим, что мы выделили из подынтегральной функции аддитивное слагаемое, равное производной некоторой функции. Тогда интеграл от этого слагаемого определяется как (1), а вычисление интеграла от второго слагаемого — это уже новая задача. Во многих случаях новая задача является уже более простой, чем исходная. Если исходную функцию удается представить в виде произведения u (х) v' (х), то аддитивное слагаемое равно (uv)', а новая задача состоит в интегрировании функции и'(х) v(x):
Такова формула интегрирования по частям классического анализа.
Идея данного подхода может быть использована и в неархимедовом анализе. Во-первых, если неархимедова функция является непрерывной между масштабными уровнями аргумента, то вся классическая техника интегрирования переносится сюда без изменений:
В выкладках появляются символы w и E, но на технике интегрирования это обстоятельство никак не сказывается.
Гораздо более важен случай, когда непрерывности между масштабными уровнями нет. В этом случае поиск интеграла сводится к реализации алгоритма, описанного в § 37. Интегрирование по частям может быть использовано на двух этапах реализации данного алгоритма: при интегрировании функции на стартовом масштабном уровне и при суммировании интегралов стартового и последующих уровней прямой. Для иллюстрации достаточно рассмотреть два масштабных уровня, например вещественный и первый мегауровень. Пусть
J j' (х) dx = j(b) - j(a).
(1)
a
b b b J u(x)v' (х)dx = uv - J и' (х)v (х)dx.
b b
b
b b
J U(X) V'(X)dX = U(X)V(X) - J U'(X)V(X)dX.
(2)
a a a
a
p = q = l /2, X = h + x, F(X) = f (h, x).
Если длина отрезка интегрирования охватывает мегауровень прямой, то интеграл по нему равен
jj
(3) J F(X)dX = Lim J
1 1/2
— J f (h,x)dx
A— -1/2
a—.
Интегрирование по частям внутреннего интеграла осуществляется по формуле (2). Предположим, что внутренний интеграл вычислен и равен
1 1/2
P(h,Ah) = — I f(h,x)dx.
ah -l/2
Теперь требуется найти сумму
j
J P(h, a—) a—.
(3)
Здесь также можно использовать «суммирование по частям». Оператор, обратный к оператору (3), имеет вид
- Ф
A— .
—--------, A—
2
A—
A— = F(j, A—) - F(a, A—).
(4)
Поэтому, если функцию P удалось представить в виде
