Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Y = 1 + kX
при к, равном ядру вещественного числа, это непрерывное продолжение прямой у * = 1 + кх *. Однако если к = (-E) или (-Ew), то это уже новые объекты, а именно прямые
Y = 1 - EX, Y = 1 - EwX. (7)
Данные объекты достаточно интересны. Мы рассматриваем евклидову геометрию, поэтому параллельно прямой OX через точку (0, 1) можно провести только одну прямую. Это будет прямая Y = 1. Все остальные прямые Y = 1 - kX при к ф 0 пересекают ось OX. Аналогичная ситуация имеет место и на архимедовой плоскости Оху. Однако в неархимедовом случае в вопросе о параллельныгх появляется новое обстоятельство. Все прямые, не параллельные OX, естественным образом разбиваются на два качественно различныгх класса (рис. 9.8). Первый класс — прямые, пересекающие ось OX в конечных точках, например прямые Y = 1 - 2X или Y = 1 - 10 23 X. Второй класс — прямые, которые пересекают ось в бесконечно удаленных точках, например прямые (3).
. Y = 1-ЕХ
2
Рис. 9.8.
Другой пример — это окружности бесконечно малого или бесконечно большого радиуса (см. рис. 9.7):
X2 + Y2 = E2, X2 + Y2 = w2.
Данные объекты размещаются либо на микромасштабных уровнях плоскости, либо на ее мегауровнях. Нетрудно доказать, что на все подобные объекты переносятся все теоремы, полученные в геометрии над полем вещественных чисел. Отличие будет состоять только в том, что там, где раньше в результатах фигурировали только вещественные параметры, теперь могут фигурировать также числа E, w и др.
Разрывные продолжения. Следующие классы объектов можно получать путем постепенного ослабления условий непрерывности. Возьмем, например, эллипс, построенный на вещественном каркасе:
<x*? + <yV = 1. (8)
a2 b2
Его непрерывным продолжением будет эллипс
X 2 Y 2
^ + Y- = 1 (9)
a b
Однако можно построить и сколько угодно разрывных продолжений, например
^ + YL = 1, (10)
22 a b
^ = 1. (11)
a2 b2
Во всех примерах при значениях X = x * Y = у * имеем эллипс (8). В случае (9) промежутки между точками каркаса (8) заполнены непрерывным продолжением эллиптической кривой. Поэтому все свойства эллипса сохраняются и на любых микроуровнях. В случае (10) промежутки заполнены горизонтальными отрезками, т.е. локально «эллипс» представляет собой набор горизонтальных отрезков. Аналогично объект (11) представляет собой набор вертикальных отрезков.
Геометрические объекты фрактального типа. Следующие классы геометрических объектов можно получить, используя их описание через соответствующие функции, в частности функции вида
Y = F (X) = f (h т,... x, X1,... Xv ...),
где
X = h m + ... + x + X1 + ... + X v +
Например, можно положить
f (X) = h W +...+x2 + x 2 + x 2 +... + x 2 +.... (12)
На любом фиксированном масштабном уровне график (12) представляет собой квадратичную параболу. Однако от параболы
Y = X2 (13)
парабола (12) отличается принципиально. Локально парабола (13) выглядит как прямая (локально как прямая выглядит любая гладкая кривая). Кривая же (12) является параболой на любом масштабном уровне. В связи с этим функции вида (12) можно назвать функциями фрактального типа.
В неархимедовом пространстве можно использовать все методы, которые применяются для построения фракталов на обычной (т.е. архимедовой) плоскости. Кроме того, здесь появляются дополнительные возможности, связанные с многомерностью и многомасштабно-стью неархимедовых переменных. Большие возможности связаны также с использованием пределов в смысле Lim. В частности, для описания факторов можно использовать итерационные процессы, реализованные для любого актуально бесконечного числа шагов. Например, пусть X, Y принадлежат многомерной области существенных чисел. Их декартово произведение образует пространство (X, Y). Пусть A 0 — некоторая точка этого пространства с координатами (X0, Y0). Предположим, что мы располагаем некоторым оператором F с достаточно широкой областью определения. Оператор F переводит точку A 0 в точку A1, затем в точку A 2 и т.д. На шаге номер n имеем
A„ = FnA 0 = FAn_ 1,
где Fn — n-я степень оператора F. Если F соответствует одной итерации, то в неархимедовом анализе можно рассматривать как завершенный результат любого актуально бесконечно большого числа итераций. Например, через w итераций придем к конкретной точке
A w = Lim FnA 0 = F WA 0.
n— W
Характеристики точек A w можно использовать для выделения определенных множеств стартовых точек A0. Для весьма широкого класса операторов F и условий на A w выделенное множество точек A 0 будет иметь фрактальную структуру. Для подтверждения достаточно
