Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 86

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 124 >> Следующая

A—
Ф
P(—, A—) =
A—
— + , A—
Ф
A—
(5)
то решение задачи дается формулой (4). «Частичное» решение задачи (5) состоит в том, чтобы представить функцию P в виде произведения
A—
P(—,A—) = u — + A—, A—
A—
— + , A—
— —Y, A—
A—
Тогда
JP(—, A—) A— = u(—, A—)v(—, A—)
j j
JQ(—, A—)A—,
(6)
a
a
a
aa
где
Q(h, Ah) = v h - a3, Ah
Ah A
h + , Ah
Ah A
h —y , Ah
Ah
Здесь использовано следующее тождество, известное из теории разностных уравнений [117]:
v f А"л --- v f Ahl


_ Ah
Ah! Ah'] Ah! Ah]
h + ---- v h + ---L --- и h --- T _ v h --- T
V 2 _ V 2 _ V ^ _
Ah
-v (h - Ah) -
Ah] Ah]
h + ---L --- u h --- T
V 2 _
Ah
Второй аргумент Ah нигде не выписан.
Полученная формула (6) — это и есть формула интегрирования по частям функций, заданных на многомасштабной, неархимедовой прямой.
2. Замена переменных
Пусть требуется вычислить интеграл от функции, заданной на вещественном масштабном уровне и первом микроуровне неархимедовой прямой: F(X) = F(x + X) = f (x, X),
b b'
(p, q) j F(X) dX = (p, q) J
Ax.
(7)
Здесь p, q и l = p + q — известные функции координаты x. Мы хотели бы упростить вычисление интеграла путем замены переменных. Прежде всего отметим, что для вычисления внутреннего интеграла можно пользоваться всем арсеналом средств классического анализа, включая сюда, конечно, и замену переменной X- Новые моменты возникают при замене переменной х. Символ Ax (в пределе имеем Ax = l) не есть дифференциал, поэтому технику замены переменных необходимо изложить, не прибегая к понятию дифференциала. За образец возьмем процедуру замены переменной в классическом ана-
и
и
и
a
a
лизе. Ее можно изложить таким образом. Пусть требуется вычислить
b
интеграл f j (x)dx. Если найти функцию F(x) такую, что
a
яф^)
Яx
= j(x), (8)
то интеграл равен Ф(Ь) _ Ф(а). Ничто не мешает представить искомую функцию F(x) как сложную функцию F(x) = Y(s(x)), где s(x) — подходящая функция аргумента x. Тогда имеем
Я^а^)) j(x)
Яа^) а' (x)
Часто функцию s(x) можно подобрать так, чтобы правая часть свелась к некоторой достаточно простой функции у от s(x): у = y(s(x)). Тогда новое уравнение
ЯТ(ст)
Яа
= У(а)
может быть гораздо проще, чем исходное уравнение (8).
Обратимся теперь к задаче (7). Роль уравнения (8) в данной задаче играет уравнение
Ф(x + l (x)) _ Ф(x) 1 q(x}
f f (x + p(x), X) dX = j(x), (9)
l (x) l (x) _p(x)
где F(x) — искомая функция. Будем искать решение как сложную функцию F(x) = Y(s (x)), где а (x) можно выбрать по своему усмотрению. В этом случае уравнение (9) перепишем следующим образом:
Y(s(x) + g (а(x))) _ Y (а(x)) = l (x)
g (а (x)) а (x + l (x)) _ а (x)
где у(а (x)) = а (x + l (x)) _ а (x). Пусть
У(а (x)) = ——^—— j(x). а(x + l (x)) _ а(x)
Тогда новая задача сводится к решению уравнения Y(s + g (а)) _ Y(s)
j(x),
g (а)
= у(а). (10)
Таким образом, процедура замены переменной х на а приводит к замене задачи (9) на задачу (10). Если l(x) ^ 0, то вся процедура переходит в классическую.
3. Формула для вычисления первого приближения интеграла
Основная трудность задачи интегрирования связана с решением разностного уравнения (9). Рассмотрим приближенное решение, связанное с заменой разностного уравнения на дифференциальное. Разложим левую часть (9) в несчетный ряд Тейлора:
(Значения производных на микроуровнях получены непрерывным продолжением с вещественного уровня прямой.) Отбросим в правой части все слагаемые, кроме первого. В результате получим
назовем первым приближением интеграла (7). Для его вычисления можно использовать все методы классического анализа. Первое приближение (11), (12) легко обобщается на случай двойных, тройных и многократных интегралов.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed