Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
- j (bh + ax)dx = bh + — (q - p).
l - p
20. Записываем разностное уравнение
Ф|11 + '• - Фlh^ l> - b(h + p) + (q - p).
30. Записываем решение разностного уравнения, пользуясь формулами § 35:
Ф(Т1, l) = b+ (b - a)(p - q) Л.
40. Окончательный результат
р
(p, q) j (bh + ax) dX =
)h_ + (b - a)(p - q)
(2)
Обсудим данный результат. Функция является непрерывной по типу 2 (локально-непрерывной). По типу 1 функция разрывна. В точках горизонта разрыв равен
R(h + q) = f (h +1, -p) - f (h, q).
a
a
a
В данном случае имеем
R(— + q) = (b - a)(p + q).
При b = a разрыв исчезает, функция становится непрерывной по типу 1. Интеграл (2) перестает зависеть от p, q и переходит в классический.
Пример 2. F(X) = f (—, x) = f (x), т.е. функция от переменной мегауровня — = x-i w не зависит.
10. Записываем разностное уравнение
^ 0 - ф(— 0 = 1 Jf (x)dx.
- p
20. Решение имеет вид
Ф(—, I) = — J f (x)dx.
I J
-p
30. Окончательный результат
(P,q)j f (x) dX = a Jf (x)dx.
a l -p
В частности,
j 2 2 (p, q) J x2 dX = p-pq + q (j - a).
a
Результат имеет ясный смысл. Первый сомножитель (j - a) /1 — это число отрезков длины I (в пределе Lim), которое укладывается на интервале интегрирования (j - a). Это актуально бесконечно большое и вполне конкретное число. Второй сомножитель — это значение интеграла по одному отрезку, т.е. от одной точки горизонта (— - p) до другой точки (— + q). Так как значение интеграла для всех отрезков одинаково, то их сумма сводится к умножению одного слагаемого на число отрезков.
Пример 3. F(X) = f (—, x) = —x.
10. Вычисляем интеграл
1 q
- J x—dx = q—p —.
- p
20. Записываем разностное уравнение ф(h + i, i) - ф(з i) q - p
l 2 30. По формулам § 35 находим
(h + p).
F(h,i) = q—p[h2 - (q - p)h].
4
40. Окончательно имеем
b -(p, q) j hxdX = [h 2 - (q - p)h]
a
Пример 4. F(X) = f (h,x) = h2.
10. Вычисляем интеграл
1 q
- jh2dx = h2.
l - p
20. Записываем разностное уравнение
F(h + l, l) - F(h, l) / \2 2 О 2
—— —----------= (h + p)2 = h2 + 2hp + p •
30. По формулам § 35 находим
3 2 2
Ф(л,о,3- - q-pл2 + p -4pq*q л.
3 2 6
40. Окончательно имеем
b
(p,q) jh2dX = Ф(b,l) - F(a,l).
a
Пример 5. F(X) = h2 * 2khx * x 2, к = const.
Из линейной комбинации уже рассмотренных интегралов получаем
(p,q) j(h2 * 2khx * x2) dX = * kj.l(q - p)[h2 - (q - p)h]j ^
Подсчитаем разрыв функции в точках горизонта:
R(h * q) = 2(1 - k)(p * q)(h * p).
При к = 1 функция становится непрерывной. В этом случае интеграл переходит в классический и зависимость от точек горизонта исчезает. Отметим, что для сокращения везде указана зависимость Ф от l,анеотp, q.
§ 39. Интегрирование функций, разрывных на произвольном числе масштабных уровней
Пусть функция Y = F (X) определена на ряде масштабных уровней:
Как и прежде, координаты х-m,...х,...xk,... — это ядра вещественных чисел. Функция от одного аргумента X сводится к функции многих переменных от аргументов (1)
Задача состоит в том, чтобы указать способ вычисления определенного интеграла от F(х):
при условии, что функция F(X) при переходе от одного масштабного уровня к другому может быть разрывной. Через (^) обозначена совокупность условий, уточняющих смысл интеграла.
Будем опираться на результаты предыдущего параграфа. Неформально данные результаты можно описать таким образом. Промежуток интегрирования [a, b] разбивается на равные части длиной Ah (см. рис. 8.3, 8.4). Число частей равно (b - a) / Ah. Интеграл по каждой отдельной части (за вычетом области перехода) мы вычислять умеем. После их вычисления производится суммирование (b - a) / Ah слагаемых. Затем осуществляется переход к пределу Lim при Ah ^ l. В результате получается значение интеграла от a до b-Нетривиальность всей процедуры состоит в том, что число частей (b - a) /1 становится актуальным бесконечно большим. Это значит, что длина всего отрезка интегрирования (b - a) и длина его части
l — числа разных масштабных уровней. Поэтому суммирование и переход к пределу приводят к тому, что, зная интегралы по отрезкам одного масштабного уровня, мы приходим к интегралу по отрезку большего масштабного уровня.
