Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Итак, пусть кривая представляет собой график функции
Y = F(X). В случае функции, разрывной по типу 2, формула (1) легко обобщается по той же процедуре, что и в классическом анализе. Данные разрывы аналогичны разрывам функции, заданной на обычной вещественной прямой.
Рассмотрим теперь разрывы нового типа, именно те, которые возникают на стыке различных масштабных уровней прямой.
Пусть функция задана на вещественном и первом мегауровне прямой: F(X) = f (h, x),
Примем во внимание разрывы, которые реализуются только на внутренних точках данного интервала при
Если допускается переход к пределу p, q ^ 0, то имеем
(5)
(6)
a
a = h 0 - p < X < b = h e + q.
x = h0 + q, h0 + q + i,...he - p-
(7)
Величина разрыва в точке X = h0 + q равна
R = f (A 1) - f (B0) = f (h0 + i, -p) - f (h0, q).
Обозначим сумму модулей разрывов по всем внутренним точкам (7) через S:
S = f (h0 + i, -p) - f (h0, q)| + |f (h0 + 2l, -p) - f (h0 + i, q)| +... +
+ f (h e, -P) - f (h e - l, q)|.
Используя введенное выше обозначение, можно записать
f (h + q, -p) - f (h - p, q)
he
h0
S = (p, q) j Если p, q — 0, то
S -J
Dh.
he
h0
f (h,0) df (h,0)
dx
dr\.
Таким образом, длина кривой, соответствующей графику функции Y = f (h, x), с учетом вертикальных отрезков равна
Р
L + S = (p, q) j
1 ]V 1 + fx2(h, x) dx
Dh +
he
(p, q) j
h0
df(h + q, -p) - f (h - p, q)
i
При p — 0, q — 0 имеем
p ,--------------- he
L + S = jyj 1 + f2(h,0) dh + j
h0
Dh.
df (h,0) df (h,0)
dh
dx
fdh.
Здесь
a = h 0 - p, Р = h e + q.
Рассмотрим теперь функцию F(X), определенную на вещественном масштабном уровне и первом микроуровне (рис. 9.12). Это
a
a
Рис. 9.12.
основной случай для приложений. Здесь
X = х + х-1E = х + X;
F (X) = f (х, X),
a = х0 - px < X < р = хе + 91.
Все рассмотренные построения переносятся сюда без изменений. Только переменная h заменяется на х, переменная х на X, а l, p, q на l1, p 1, q 1 (индекс «1» будем опускать). Тогда длина вертикальных отрезков равна
S = (Р, 9) j
х 0
f (х + q, -p) - f (х - p, q)
Если p, q, l ^ 0, то
S -J
l
df (х, 0) df (х, 0)
Ах.
(8)
дх
dX
йх.
Длина кривой с учетом вертикальных отрезков дается формулой
Р
L + S =
(p, q) j
(p, q) j
х 0
f (х + q, -p) - f (х - p, q)
l
Ах +
Ах.
Если p, q, l ^ 0, то
Р
L + S =
j-J 1 + f х2(х,0)йх + j
х0
df (х, 0) df (х, 0)
дх
dX
йх.
Примеры. Рассмотрим примеры для графиков, заданных на вещественном уровне прямой и ее первом микроуровне.
Пример 1. Пусть
F (X) = F (х + х 1E) = F (х + X) = f (х, X) = g^).
х
0
a
a
Это значит, что при фиксированном x и меняющемся X значения F не меняются. Значит, на микроуровне кривая F(X) собрана из горизонтальных отрезков. По формуле (5)
b
L = (p, q) j Dx = b _ a. (9)
a
Результат является предельно ясным. Он указывает на адекватность всех построений. Величина b _ a представляет собой длину всех горизонтальных отрезков. Применяемый алгоритм интегрирования таков, что в результате предельных переходов длина интервала интегрирования исчерпывается полностью. Формула (9) оказалась независимой от параметра l. Поэтому при l — 0 длина будет выражаться той же формулой. Интегрирование (6) приводит к тому же результату.
Рассмотрим теперь вертикальные отрезки. Пусть g(x) — монотонно возрастающая функция. Тогда в (8) модуль можно отбросить. Отсюда сразу следует, что
S(l) = g(xe) _ g(x 0). (10)
Смысл результата также ясен. Так как движение на микроуровне происходит по горизонтальным отрезкам, то любое увеличение значения F(X) возможно только за счет движения по вертикальным отрезкам. Таким образом, приращение функции всегда совпадает с суммой ее скачков на разрывах. Именно это и показывает решение (10). От величины l результат не зависит. Общая длина кривой с учетом вертикальных отрезков равна
L + S = b _ a + g(xe) _ g(x0).
Пример 2. Пусть функция на обоих масштабных уровнях является линейной:
F(X) = F(x + X) = ax + bX, a,b = const.
Тогда
L = -\/1 + b2 (b _ a).
Результат от l не зависит. Вычисление по предельной формуле дает то же самое выражение. Вертикальные отрезки определяем по формуле (8):
S = |a _ b |(xe _ x0).
