Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Второй вариант сводится к следующему. Коль скоро интеграл зависит от пути L, то можно взять все возможные пути и в качестве интеграла ввести некоторое среднее значение по всем путям. В квантовой механике эта идея принадлежит Фейнману и приводит к успеху [118]. В рассматриваемой ситуации потребности именно в такой интерпретации интеграла в настоящее время не видно.
Третий вариант представляется наиболее естественным. Если интеграл зависит от пути, то, может быть, среди всех путей есть один избранный путь L такой, который выделяется из всех остальных как настоящий, действительно реализуемый. Тогда интеграл по этому пути и должен быть принят в качестве интеграла по отрезку [a, b]-Рассмотрим данную возможность подробнее. Вещественный масштабный уровень будем представлять себе как уровень, доступный нам непосредственно. Движение по данному уровню происходит в условиях, когда параметры всех мегауровней зафиксированы (подобно тому, как в пределах нашей жизни зафиксирован номер геологической эпохи). В плоскости (x,h) это соответствует движению по вертикальному отрезку h = const. Опыт показывает, что ни один процесс не может продолжаться неограниченно ни в пространстве, ни во времени. Максимум он может продолжаться до некоторой особой точки, после достижения которой наступают качественные измене-
ния и вступают в действие какие-то новые законы и правила, так что дальнейшая судьба процесса определяется уже новыми законами. Выше эта точка была определена как точка горизонта. Примем, что по достижении точки горизонта мы вступаем в особую переходную область и в конце концов попадаем в новую точку на мегауровне
h + А^.
Каков путь перехода в данную точку? Обратимся к криволинейному интегралу. Структура подынтегрального выражения однозначно выделяет один из путей интегрирования — путь, для которого dx + dh = 0. Для такого пути интеграл по нему будет всегда тождественным нулем для любой функции f (x,h) (если у функции нет особенностей). Отсюда следует, что dh = -dx и, значит, Ah = l. Однако число l принадлежит к вещественному масштабному уровню, а число Ah — к первому мегауровню. Поэтому добиться выполнения условия Ah = l можно только с помощью процедуры предельного перехода Lim. Таким образом, путь L должен состоять из прямолинейных горизонтальных и наклонных (под углом p /4 при Ah ^ l) отрезков (рис. 8.6). Формула Грина (21) позволяет оценить степень зависимости криволинейного интеграла от пути и, в частности, степень зависимости величины интеграла от параметров задачи р и q. На рис. 8.7 показаны два крайних случая: первый p = l, q = 0 (сплошная ломаная L1:A1 B1...C1 K1) и второй p = 0, q = l (штриховая ломаная
L2: Bx B2... K1K 2).
Различие в интегралах определяется двойным интегралом (21) по затонированной области плюс разницей интегралов по отрезкам A1B1,B1B2 и K1C1,K1K2. Главным является следующее обстоятельство: зависимость интеграла от расстояния до точек горизонта связана исключительно с разрывностью функции на стыке двух масштабных уровней. Степень разрывности определяется разностью производных f по h и х. В классическом анализе такого рода разрывности нет, поэтому необходимости и в понятии точки горизонта не возникает.
х
Н
-I-
в
\Л0+*
Ч /“I
В,
Рис. 8.7.
В заключение рассмотрим предельный случай, когда горизонт суживается до точки. Для этого в формулах (14), (15) необходимо сделать предельный переход в смысле limit при p ^ 0, q ^ 0 и, значит, l ^ 0. Ясно, что
limit1 f f (h,x)dx = f (h,0); = f (h,0).
l^ 0 l J Ян
ЯФ(н)
ян
Таким образом, в случае неограниченного суживания горизонта интеграл по неархимедовой переменной X переходит в римановский интеграл от продолжения функции с первого мегауровня:
b b limit (p, q) f f (h, x)dX = f f (h, 0) dh.
§ 38. Примеры вычисления определенных интегралов
Интегралы от функций, заданных на вещественном уровне прямой и ее первом мегауровне. Вначале задается функция
F(X) = f (h,x); X = h + x = x_1 w + x
и расстояния до точек горизонта q и p, l = q + p. Задаются пределы интегрирования а = h 0 + x 0, b = h е + xe.
10. Если интервал интегрирования таков, что h 0 = h е, то
b
f F(X)dX = ff (h0,x)dx = F(h0, xe) _ F(h0, x0),
(1)
x
где
дФ("Л, х) дх
= f (h, х).
20. Если же h о < h е , то, пользуясь формулой (1), можно добиться того, чтобы a = h о - p, Р = h е + Ч- Тогда
р
р
(p, Ч) j F(X) dX = (p, q) J
1 q
- j f (h,x) dx
Dh = Ф(Р, l) - Ф(а, l),
где
Ф (h + l, I) - Ф (h, l) = 1
j f (h + p, x) dx.
В случае 10 интегралы вычисляются по формулам классического анализа. Переменная h входит в формулы как параметр. Приводить примеры для этого случая необходимости нет.
Рассмотрим примеры для случая 20.
Пример 1. F(X) = f (h,х) = bh + ax, b, a = const.
10. Вычисляем интеграл
1 q a
