Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Например, пусть f (x) = x2 (рис. 9.9). Такой угол (угол касания, или роговидный угол) меньше угла вида (1) для любого вещественного числа Р > 0. Значит, его величина — это некоторое актуальное бесконечно малое число. Какое именно?
Теперь у нас все готово для того, чтобы дать ответ на этот вопрос, восходящий к [1]. Прежде всего заменим все вещественные числа их ядрами и перенесем измеряемый угол в неархимедову плоскость (рис. 9.10). Конечно, вместе с углом в неархимедову плоскость
OXY мы переносим и всю архимедову плоскость Ox *у * в качестве каркаса, или реперной «сетки». Теперь стороны угла уже не выглядят как сплошные линии. Возьмем счетную последовательность значений аргумента X n = —. Значения аргумента и функции являются без-
размерными. В качестве меры угла примем значение a = Limarctgn • f ^1
(3)
Мера (3) удовлетворяет всем указанным выше условиям.
Посмотрим теперь, что она дает в конкретных случаях. Во-первых, определим угол, который имеет меру, равную эталонному бесконечно малому числу E. Из уравнения a = E, или
arctg nf
1
V ny
сразу получаем, что f (x) = xtgx. Далее, пусть у = kx . Тогда
a = Limarctgn— = arctg(k • E).
П^от n
(4)
Меньшему (положительному) значению k соответствует меньший угол. Но при любом к > Оуглы (4) будут всегда больше углов, образованных осью у = 0 и кривой y = m • x3. Здесь имеем
a = arctg (m • E2)
и т.д. Интересно посмотреть угол между осью у = 0 и окружностью радиусом R:
(у - R)2 + x2 = R2.
Именно об этом угле речь идет в «Началах» Евклида [1]. Формула (3) дает
. R
a = arctg— E
1 -, 1 -
= arctg
2R + 8R3
+...
(5)
Таким образом, мы сталкиваемся с новым феноменом. Оказывается, величина угла становится зависимой от масштаба длины. Причем если мы имеем углы типа (1), то масштаб длины в формуле (3) сокращается. Однако если углы, например, являются углами касания, то мера угла становится зависимой от масштаба длины. Таким образом, если угол образован прямолинейными лучами, то изотроп-
n
n
ное растяжение плоскости величину угла не меняет. Однако в общем случае (3) это не так: изотропное растяжение плоскости приводит к уменьшению углов касания (роговидных углов).
Итак, формула (3) дает решение проблемы измерения роговидных углов. Их величины являются неархимедовыми. Они упорядочены между собой. Например, формула (5) показывает, что с уменьшением радиуса окружности угол увеличивается. Но до каких пределов можно уменьшать радиус окружности? В исходной постановке задачи мы рассматриваем углы, заданные в обычной архимедовой плоскости. Следовательно, радиус окружности — это любое положительное вещественное число. Это и есть ответ на поставленный вопрос. И формула (5) для любого R > 0, принадлежащего вещественному масштабному уровню, дает вполне адекватный результат.
А что она даст, если формально применить ее, например, к углу, образованному прямой и окружностью бесконечно малого радиуса R = E? Из формулы сразу следует, что a = p/4. Смысл результата виден из рис. 9.11.
Поясним его. Если мы допускаем значения R = E, то значит рассматриваем графики неархимедовых функций. Их графики располагаются на неархимедовой плоскости. Поэтому и исходную задачу необходимо сформулировать уже именно для этого случая. Итак, пусть
Y = F(X) — график неархимедовой функции, заданной на существенной прямой OX. График получен непрерывным продолжением с архимедовой плоскости:
F(O) = 0, F(X) > 0 при X > 0. (6)
На неархимедовой плоскости формула (3) означает не что иное, как определение угла наклона секущей линии к графику F(X). Именно секущей, проходящей через начало координат и точку (E, F(E)).
Ясно, что такая секущая угол в целом уже не характеризует. Попытки поиска адекватной характеристики показывают, что в рамках неархимедова анализа со степенью разрешения 2 это невозможно. Необходим переход к неархимедову анализу с более высокой степенью разрешения (см. гл. 13), т.е. к анализу-3. В рамках анализа-3 можно измерить углы (6). Однако если угол (6) продолжить по непрерывности на неархимедову плоскость-3, то для измерения таких углов необходимо будет построить анализ-4. И так далее до бесконечной степени разрешения, затем — к анализу со степенью разрешения на единицу больше и т.д. — до теорий, степень разрешения которых уже не поддается никакому воображению.
Таким образом, проблема измерения роговидных углов приобретает какой-то совершенно особый смысл. Для своего разрешения она все время требует перехода к математической реальности все более высокого плана.
Действительно, вначале мы располагаем обычной вещественной прямой и геометрией Евклида на обычной архимедовой плоскости. На ней есть прямые, окружности, а также углы, образованные окружностями и касательными к ним прямыми. При этом радиус окружности — положительное вещественное число. Когда мы разглядываем чертеж, нам кажется, что теоретически угол, образованный окружностью и касательной прямой, является «бесконечно» острым. Но что значит «теоретически»? Эта теория имеет разрешающую способность 1 и относится к архимедовой плоскости. Если мы переходим к неархимедовой (существенной) плоскости, то видим, что то, что мы считали точкой, т.е. объектом, «не имеющим частей», теперь превратилось в туманности. В центре ее находится ядро. Ядро окружено ореолом с размытой внешней границей. Теперь на новой плоскости мы угол должны изобразить так, как показано на рис. 9.10. Здесь уже ни о какой «предельной» его остроте речи идти не может. Задача измерения таких углов не может быть решена в рамках архимедовой числовой системы, удовлетворяющей Первой аксиоме разрешения. Для измерения таких углов мы должны перейти к неархимедовой числовой системе, имеющей степень разрешения 2 (т.е. удовлетворяющей Второй аксиоме разрешения).
