Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Ф(x + l (x)) - Ф(x) l (x)
Ф '(x) + 1Ф "(x) l (x) + ....
(11)
Интеграл, вычисленный по данной формуле, т.е.
р . qyx)
J _ I I f (x + P(x), S)dS dx,
a _i(x) - p(x)
(12)
Глава 9 Введение в неархимедову геометрию
В основу геометрических построений положим понятие числа. Понятие числа будем считать первичным по отношению к понятиям точки, прямой и плоскости. Это значит, что все геометрические объекты будем вводить как объекты, представляющие собой либо отдельные числа, либо их определенные совокупности. Следовательно, геометрию будем рассматривать как область математического анализа, в которой вводятся специальные классы эквивалентности и специальная терминология, имеющая своим источником определенные пространственные представления. Именно такой подход используется в аналитической, дифференциальной и других геометриях, построенных над полем вещественных чисел. Задача состоит в том, чтобы провести аналогичные построения в пространстве, осями координат которого являются неархимедовы прямые.
В качестве первого шага примем следующее определение: совокупность абсолютных рациональных чисел будем называть (абсолютной) рациональной прямой. Между рациональными числами есть линейный порядок. Именно данное свойство дает основание для того, чтобы указанную совокупность назвать прямой. Рациональную прямую можно дополнить до существенной прямой и затем до вещественной прямой. Данные прямые могут выступать в качестве координатных осей в двумерном, трехмерном или многомерном пространстве. Пусть К — размерность этого пространства. Значит, точка пространства — это некоторый набор K координат. С другой стороны, каждое вещественное число, если на него посмотреть с разрешением, которое дает неархимедов анализ, представляет собой образование бесконечной размерности. Пусть N — некоторая аппроксимация данной размерности. Ясно, что размерности указанных двух пространств имеют различную природу. Первое из указанных пространств (размерности K) будем называть внешним, а второе (размерности N) — внутренним. Данные пространства относятся к разным уровням математической реальности. Тем не менее одно из измерений у них является общим. Именно через данное измерение процессы, которые происходят во внутреннем пространстве, могут проявлять себя во внешнем пространстве.
Например, пусть N = 2. В качестве базиса внутреннего пространства возьмем два делителя нуля:
Отсюда j 1 + j2 = 1. Следовательно, направление, которое можно назвать биссектрисой между осями Oj 1, Oj 2, совпадает с направлением координатной оси внешнего пространства. Данное направление будем называть магистральным. Подробнее роль этого направления рассмотрим в гл. 11. В настоящей главе ограничимся только геометрическими построениями во внешнем пространстве при K = 2, т.е. плоским случаем.
§ 41. Геометрические объекты на неархимедовой плоскости
Напомним основные посылки аналитической геометрии на плоскости. Пусть x, у — переменные, принимающие вещественные значения. Пары чисел (x 1,у 1), (x2,у2),... называются точками. Число, равное
называется расстоянием между точками (х 1,у 1), (х2,у2). Совокупности точек (х,0), (0, у), (х, у) — это оси декартовых координат Ох, Оу и плоскость Оху. Совокупности точек
ax + Ьу = c, (x - x 1)2 + (у - у 1)2 = R2, у = ax2
называются прямой, окружностью и параболой. Все параметры а, Ь, c, R — некоторые вещественные числа. Аналогично вводятся и другие геометрические объекты. Далее исследуются их свойства и отношения между различными объектами [119], т.е. строится определенная геометрическая теория над полем вещественных чисел.
Что нового может дать переход к неархимедовой числовой системе? Будем действовать по аналогии. Пусть X, Y — переменные, принимающие существенные значения. Пары чисел (X1, Y1), (X2,Y2)... будем называть точками, а число, равное
— расстоянием между точками (X1, Y1), (X2, Y2). Совокупность точек (X, Y) будем называть неархимедовой (или существенной) плос-
j 1 = limit Lim (1, 0, 1, 0, 1, 0...),
V n
j 2 = limit Lim (0, 1, 0, 1...).
V(X1 - X2)2 + (Y1 - Y2)2,
костью, а совокупности точек (X, О), (О, Y) — осями декартовых координат в плоскости OXY.
Определение 41.1. Геометрическим объектом будем называть класс эквивалентности совокупностей точек (X, Y). Совокупность может задаваться различными условиями типа равенств, неравенств, процедурами предельного перехода и т.д. Эквивалентными считаются совокупности, которые отображаются друг на друга с сохранением расстояний между точками.
Неархимедова плоскость содержит в себе бесконечно много масштабных уровней. Поэтому для построения различных геометрических объектов открывается достаточно много различных возможностей. Рассмотрим некоторые из них.
Перенос геометрических объектов с обычной вещественной плоскости на неархимедову плоскость. Отметим значения X и Y, которые соответствуют ядрам вещественных чисел. Обозначим их через х *, у *. Совокупность точек (х * у *) назовем вещественной решеткой (или каркасом) на неархимедовой плоскости.
