Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Та же задача возникает при вычислении интеграла (2). Отличие состоит только в том, что теперь потребуется целый ряд таких пере-
X = h m + h m-1 + ...+ h 1 + x + X1 + X2 + ... + Xk + ..., hm = x-mwm,...h 1 = x-1 W X1 = x 1^... Xk = xkEk ,... . (1)
F(X) = f (hm,-X,... Xk ,...).
(2)
a
ходов. Опишем алгоритм их осуществления. В качестве образца возьмем рассмотренный выше алгоритм в следующей форме:
10. По заданной функции f (—,x) вычисляется функция j (—, x) такая, что
dj(h-x) , f (h,x). dx
20. По известной функции j (h, x) определяется функция F(h) из уравнения (17) § 37:
Ф^ + q) - Ф^ - p) = j(h, q) - j(h, -p)
I I '
30. а) интеграл получаем как разность F(j) - F(a), если a = h0 - p; j = he + q, h0 > he;
б) если a = h0 + x0; j = h0 + xe, то интеграл равен j(h0, xe) -
- j(h0, x0);
в) общий случай сводится к указанным двум.
Перейдем теперь к задаче (2). Во-первых, необходимо предположить, что существует некоторый стартовый масштабный уровень, интеграл по которому мы вычислять умеем. Пусть это будет микроуровень с номером k:X = Xk = xk Ek. Предположим, что детали поведения функции на уровнях меньших масштабов неизвестны либо не представляют интереса. Тогда функция F с микроуровня номер к продолжается на микроуровни (k + 1), (k + 2) и др. по непрерывности:
F(X) = f(hm,...x, X1,...Xk).
Пусть [ak, j k ] некоторый промежуток на уровне Xk. Это значит, что при переходе от ak к j k меняется только аргумент Xk, а все остальные аргументы Xk- 1,...hm остаются неизменными. Это обстоятельство подчеркнем введением индекса k в обозначение функции Ф, которая дает значение интеграла по отрезку [ak, j k ]:
Fk (hm,...x-.. Xk-Ь jk ) - Fk (hm,...x-.. Xk-1, ak ) = jk _ _
= JF(hm,...x,... Xk-1, Xk ) dXk .
ak
Функция F по аргументу Xk непрерывна, поэтому интеграл от нее вычисляется по обычной формуле Ньютона — Лейбница. Это зна-
чит, что функция Фк может быть найдена из решения дифференциального уравнения
Яфо (hm>x ...Xk_ 1>Xk )
ЯХ k
F (h m, — x 1 — Xk_ 1, Xk ).
Пусть pk, qk — расстояния до точки горизонта на масштабном уровне Xk, lk = pk + qk;...p_m, q_m — расстояния до точки горизонта на уровне hm, l_m = p_m + q_m. Тогда
Ф k_ 1(h m >...x k _ 1 + qk ) _ Ф k _ 1(hm>-x k_ 1 _ pk ) =
lk
= Fk m’...Xk_ 1; qk ) _ Fk m’".Xk_ 1; _ pk )
" lk '
Правая часть известна. Из решения уравнения определяем функцию Fk_ 1(hm,..., Xk_ 1). Данная функция позволяет определить интеграл по интервалу следующего масштабного уровня, т.е. по уровню переменной Xk_1. Нас интересует интеграл по интервалу _pk_ 1 < Xk_ 1 < qk_ 1. На данном интервале все остальные переменные hm, -- Xk_2 зафиксированы и играют роль параметров. Если
pk_ 1 =x0_ 1 _ pk, qk_ 1 = xk_ 1 + q.k, (3)
то следующее по цепочке уравнение имеет вид
Fk _ 2(hm >... X k _ 2 + qk _ 1) _ Fk _ 2(hm>... X k _ 2 _ Pk _ 1) = lk_1
= Fk_ 1(нm’... Xk_2; qk_ 1) _ Fk_ 1(hm’... Xk_2; ~pk_ 1) lk_1
Правая часть известна. Если условия (3) не выполняются, то к правой части добавляются слагаемые, которые легко вычисляются. (Условия вида (3), а также данная оговорка подразумеваются и для следующих уравнений.)
Повторяя указанные процедуры, мы приходим к цепочке уравнений вплоть до последнего интересующего нас уравнения
Ф_ m m + q_ m+1) _ Ф_ m m _ p _ m+1) = l_ m+1
= Ф_m+ 1(h m; q_m+1) _ Ф_m+ 1(h m, _p _m+1)
l_ m+1
Окончательный результат получаем в следующем виде:
p-m
(R) j F(X)dX _ Ф-m(P-m) - Ф-m^m),
a-m
где
a-m - hSn0) - P-m- P -m - h^ + 4-m- hS? , h^ зЭДаНЫ.
Рассмотрим предельный случай, когда расстояния до точек горизонта становятся исчезающе малыми. В результате вместо разностных уравнений получим цепочку дифференциальных уравнений:
dFk (hm-... Хk-1- Xk ) — f (h x X )•
---------—----------- - J (TI m,... S k-1, Sk );
dX k
dFk- 1(hm-...x- Sk-1) _ dFk (hm -... Sk-1,0) • dS k-1 dS k
dFk-2(hm-...- Sk-2) _ dFk- 1(hm- — Sk-2-0) • dSk-2 dSk-1
dF0(hm-...x) _ dF1(hm-...x,0) •
dx dS1 '
dF-1(hm-...h 1) _ dF0(hm-...h 1,0)
dh 1 dx
dF-m (h m ) _ dF-m+ 1(h m- 0) dh m dh m-1
Отсюда сразу следует, что
dFk (hm,...Sk-1, Sk )
dS k
dFk- 1(hm,... Sk-1)
